高中数学教学-三角函数的性质及应用

时间:2020-11-04 10:16:12 简单学习 我要投稿

高中数学教学-三角函数的性质及应用

  一. 教学内容: 三角函数的图像与性质

高中数学教学-三角函数的性质及应用

  高中数学教学-三角函数的性质及应用教学视频

  二. 教学目标:

  了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义。

  三. 知识要点:

  1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

  2. 三角函数的单调区间:

  的递增区间是

  ,递减区间是

  ;

  的递增区间是

  ,递减区间是

  的递增区间是

  , 3. 函数

  最大值是

  ,最小值是

  ,周期是

  ,频率是

  ,相位是

  ,初相是

  ;其图象的对称轴是直线

  ,凡是该图象与直线

  的交点都是该图象的对称中心。 4. 由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+

  )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活地进行图象变换。

  利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。

  途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)

  先将y=sinx的图象向左(

  >0)或向右(

  <0=平移|

  |个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的

  倍(ω>0),便得到y=sin(ωx+

  )的图象。

  途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

  先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的

  倍(ω>0),再沿x轴向左(

  >0)或向右(

  <0,平移

  个单位,便得到y=sin(ωx+

  )的图象。

  5. 对称轴与对称中心:

  的对称轴为

  ,对称中心为

  ;

  的'对称轴为

  ,对称中心为

  ; 对于

  和

  来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点相联系。 6. 五点法作y=Asin(ωx+

  )的简图:五点法是设X=ωx+

  ,由X取0、

  、π、

  、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。

  【典型例题】

  例1. 把函数y=cos(x+

  )的图象向左平移

  个单位,所得的函数为偶函数,则

  的最小值是( ) A.

  B.

  C.

  D.

  解:先写出向左平移4个单位后的解析式,再利用偶函数的性质求解。

  向左平移

  个单位后的解析式为y=cos(x+

  +

  ) 则cos(-x+

  +

  )=cos(x+

  +

  ), cosxcos(

  +

  )+sinxsin(

  +

  )=cosxcos(

  +

  )-sinxsin(

  +

  ) ∴sinxsin(

  +

  )=0,x∈R. ∴

  +

  =kπ,∴

  =kπ-

  >0 ∴k>

  ,∴k=2,∴

  =

  答案:B

  例2. 试述如何由y=

  sin(2x+

  )的图象得到y=sinx的图象。解:y=

  sin(2x+

  )

  另法答案:

  (1)先将y=

  sin(2x+

  )的图象向右平移

  个单位,得y=

  sin2x的图象; (2)再将y=

  sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=

  sinx的图象; (3)再将y=

  sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。例3. 求函数y=sin4x+2

  sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间。解:y=sin4x+2

  sinxcosx-cos4x =(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+

  sin2x =

  sin2x-cos2x =2sin(2x-

  ). 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是[0,

  ],[

  ,π] 点评:把三角函数式化简为y=Asin(ωx+

  )+k(ω>0)是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。例4. 已知电流I与时间t的关系式为

  。 (1)下图是

  (ω>0,

  ) 在一个周期内的图象,根据图中数据求

  的解析式;

  (2)如果t在任意一段

  秒的时间内,电流

  都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?

  解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力。

  (1)由图可知 A=300

  设t1=-

  ,t2=

  则周期T=2(t2-t1)=2(

  +

  )=

  ∴ω=

  =150π 将点

  代入 ∴

  =

  故所求的解析式为

  (2)依题意,周期T≤

  ,即

  ≤

  ,(ω>0)

  ∴ω≥300π>942,又ω∈N*

  故最小正整数ω=943.

  点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形数结合的有效途径。

  【模拟试题】

  1. 在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是( )

  A. (

  ,

  )∪(π,

  ) B. (

  ,π) C. (

  ,

  ) D. (

  ,π)∪(

  ,

  )

  2. 如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π=的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )

  A. T=2,θ=

  B. T=1,θ=π C. T=2,θ=π D. T=1,θ=

  3. 设函数f(x)=A+Bsinx,若B<0时,f(x)的最大值是

  ,最小值是-

  ,则A=_______,B=_______。 4. 已知函数y=tan(2x+

  )的图象过点(

  ,0),则

  可以是( ) A. -

  B.

  C. -

  D.

  5. 函数y=sin(

  -2x)+sin2x的最小正周期是( ) A. 2π B. π C.

  D. 4π

  6. 若f(x)sinx是周期为π的奇函数,则f(x)可以是( )

  A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x

  7. 函数y=2sin(

  -2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是( ) A. [0,

  ] B. [

  ,

  ] C. [

  ,

  ] D. [

  ,π] 8. 把y=sinx的图象向左平移

  个单位,得到函数__________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数__________的图象。

  9. 函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.

  10. f(x)=2cos2x+

  sin2x+a(a为实常数)在区间[0,

  ]上的最小值为-4,那么a的值等于( )

  A. 4 B. -6 C. -4 D. -3

  【试题答案】

  1. 答案:C

  2. 解析:T=

  =2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使上式取得最大值,可取θ=

  。

  答案:A

  3. 解析:根据题意,由

  可得结论答案:

  -1 4. 解析:将(

  ,0)代入原函数可得,tan(

  +

  )=0,再将A、B、C、D代入检验即可。

  答案:A

  5. 解析:y=

  cos2x-

  sin2x+sin2x=

  cos2x+

  sin2x=sin(

  +2x),T=π.

  答案:B

  6. 答案:B

  7. 解析:对于y=2sin(

  -2x)=-2sin(2x-

  ),其增区间可由y=2sin(2x-

  )的减区间得到,即2kπ+

  ≤2x-

  ≤2kπ+

  ,k∈Z。 ∴kπ+

  ≤x≤kπ+

  ,k∈Z.令k=0,故选C.

  答案:C

  8. 解析:向左平移

  个单位,即以x+

  代x,得到函数y=sin(x+

  ),再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,即以

  x代x,得到函数:y=sin(

  x+

  )。答案:y=sin(x+

  ) y=sin(

  x+

  ) 9. 解析:由cosx-sinx>0

  cosx>sinx.由图象观察,知2kπ-

  (k∈Z) 答案:2kπ-

  (k∈Z) 10. 解析:f(x)=1+cos2x+

  sin2x+a=2sin(2x+

  )+a+1. ∵x∈[0,

  ],∴2x+

  ∈[

  ,

  ]. ∴f(x)的最小值为2×(-

  )+a+1=-4

  ∴a=-4.

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