三角函数测试题及答案

时间：2021-02-28 08:43:08 公开教育我要投稿

三角函数测试题及答案

　　试题一：

三角函数测试题及答案

　　一、选择题

　　1. 下列各三角函数式中，值为正数的是 ( )

　　A. B. C. D.

　　2. 若=，且为锐角，则的值等于 ( )

　　A. B. C. D.

　　3. 若=，，则的值为 ( )

　　A. 1 B. 2 C. D.

　　4. 已知，则 ( )

　　A. B.

　　C. D.

　　5. a=，则成立的是 ( )

　　A. ab>c C. a

　　6. 函数的定义域是( )

　　A. B.

　　C. D.

　　7. 下面三条结论：①存在实数，使成立;②存在实数，使成立;③若cosacosb=0，则其中正确结论的个数为( )

　　A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

　　8. 函数的值域是 ( )

　　A. [-2，2] B. [-1，2] C. [-1，1] D. [，2]

　　9. 函数y=-x·cosx的部分图象是( )

　　10. 函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )

　　A. 非奇非偶函数

　　B. 仅有最小值的奇函数

　　C. 仅有最大值的偶函数

　　D. 既有最大值又有最小值的偶函数

　　二、填空题

　　1、函数的最小值等于并使函数y 取最小值的x的集合为

　　2、若函数的图象关于直线对称，则

　　函数的值域为

　　3、已知函数

　　三、解答题

　　1、已知，求的值

　　2、在DABC中，已知三边满足，试判定三角形的形状。

　　试题二：

　　1、若sinα=-5/13，且α为第四象限角，tanα=?(文.6)

　　A.12/5 B.-12/5 C.5/12 D.-5/12

　　解析：主要考察基础知识。α是第四象限角，所以cosα为正，tanα为负。

　　cos2α=1-sin2α，且cosα是正数，所以cosα=12/13，tanα=sinα/cosα=-5/12，选D。

　　2、已知函数f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)

　　1)求f(x)的最小正周期

　　2)将f(x)的函数图像向右平移π/6个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到g(x)的函数图像，且函数g(x)的最大值为2.

　　i)求g(x)的解析式

　　ii)证明存在无穷多互不相同个正整数x0，使得g(x0)>0.

　　解析：

　　1)函数的化简，可以看到两个式子都跟两倍角公式有关系，可以考虑先都变成两倍角。

　　f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)=10√3*(1/2*sinx)+10*(1/2*(cosx+1))

　　=5√3sinx+5cosx+5=10*(√3/2*sinx+1/2*cosx)+5

　　=10*(cosπ/6*sinx+sinπ/6*cosx)+5=10*sin(x+π/6)+5，(根据两角和公式)

　　所以f(x)的最小正周期为2π/ω=2π

　　i)先是函数图像的变化问题

　　左加右减，右移是x变化，右移π/6就是把x变成x-π/6，变成

　　m(x)=10*sin(x-π/6+π/6)+5=10sinx+5.

　　上加下减，下移是函数值变化，下移a个单位就是函数值减a，变成

　　g(x)=10sinx+5-a.因为g(x)最大值为2，所以a=13.

　　g(x)=10sinx-8.

　　ii)g(x0)>0,也就是10sinx-8>0,sinx>4/5.

　　也就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得sinx>4/5.

　　直接求这个不等式的解集比较难，因为我们不知道sin多少=4/5，但我们可以就近找，可以发现√3/2>4/5，所以我们只需要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得sinx>√3/2即可。

　　sinx>√3/2的`解集为(π/3+2kπ，2/3π+2kπ)

　　先看(π/3，2π/3)，区间长度为π/3>1，也就是这个区间内至少会有一个整数，比如这个区间的整数就是1.

　　每个(π/3+2kπ，2π/3+2kπ)的区间长度都是π/3>1，因此对于任意的正整数k，在(π/3+2kπ，2π/3+2kπ)之间内都存在正整数x0使得g(x)>0，因此就是存在无穷多互不相同个正整数x0，使得g(x0)>0。

　　难点在于正整数的理解，任何一个区间，只要长度大于1，中间肯定就会有一个整数。

　　3、若锐角三角形ABC的面积是10√3，AB=5，AC=8，求BC=?(数学.理)

　　解析：提到面积，很容易想到正弦定理。

　　正弦定理：a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D还有面积S=1/2*ab*sinC

　　S=1/2*AB*AC*sinA=10√3,代入数据求得sinA=√3/2,因此是锐角三角形，所以A=π/3，即60度。知道角和两条夹边，根据余弦定理可以求得对边。

　　a²=c²+b²-2bccosA，也就是BC²=AB²+AC²-2AB*AC*cosA=25+64-80*1/2=49

　　BC=7

　　4、已知函数f(x)的图像是由g(x)=cosx经过以下变化得到：g(x)图像上所有点的纵坐标变成原来的2倍(横坐标不变)，再将所得的图像向右平移π/2个单位。

　　1)求f(x)的解析式，及对称轴方程。

　　2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0，2π)之间存在两个不同的解a,b。

　　i)求实数m的取值范围

　　ii)cos(a-b)=2m²/5-1.

　　解析：

　　1)还是图像变化老问题，g(x)图像上所有点的纵坐标变成原来的2倍(横坐标不变)，就是函数值变为原来的2倍，也就是变成了2cosx。

　　再将所得的图像向右平移π/2个单位。左加右减，左右移动x变化，就是x变成x-π/2.于是有f(x)=2cos(x-π/2)，有强迫症的还可以化简为f(x)=2cos(x-π/2)=2cos(π/2-x)=2sinx。

　　f(x)的对称轴就是f(x)的最大值很最小值，也就是x=π/2+kπ(k是整数)

　　2)先代入化简：f(x)+g(x)=m，2sinx+cosx=m，√5sin(x+φ)=m

　　辅助角公式：

　　二思考：存在两个不同的解是什么意思?如果是一元二次方程有个△可以看，三角函数在区间内有两个不同的解，从sinx的图像可以看到，在一个周期内，除了两个顶点之外，任意的值都存在两个x与之对应。

　　所以函数在[0，2π)之间存在两个不同的解a,b，只需要满足-√5

　　ii)cos(a-b)=2m²/5-1

　　a,b是方程2sinx+cosx=m，也就是√5sin(x+φ)=m的根。继续从函数图像上找找a,b的关系。可以看到a.b关于函数的某一条对称轴对称。

　　先求√5sin(x+φ)在[0，2π)之间的对称轴。sinx的对称轴为x=π/2+kπ(k是整数)，sin(x+φ)是x+φ=π/2+kπ(k是整数)。

　　如果-√5

　　如果0<=m<√5，那么a,b就关于x+φ=π/2对称，同样得到a+b=2*(π/2-φ)=π-2φ。

　　接下去就要看转化了，因为a，b是√5sin(x+φ)=m的根，所以有√5sin(a+φ)=m，√5sin(b+φ)=m。

　　转化1：题干的左边转化

　　cos(a-b)=cos(a+φ-(b+φ))=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)

　　转化2：我们已知条件的转化

　　-√5

　　两边正弦得，sin(a+φ)=sin(3π-(b+φ))=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)

　　两边余弦得，cos(a+φ)=cos(3π-(b+φ))=cos(π-(b+φ))=-cos(b+φ)

　　0<=m<√5时，同样可以化简得到sin(a+φ)=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)

　　cos(a+φ)=-cos(b+φ)

　　综合化简：

　　cos(a-b)=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)

　　=-cos(b+φ)cos(b+φ)+sin(b+φ)sin(b+φ)

　　=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)

　　√5sin(b+φ)=m,sin(b+φ)=m/√5,sin²(b+φ)=m²/5

　　cos²(b+φ)=1-sin²(b+φ)=1-m²/5

　　所以cos(a-b)=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)=-(1-m²/5)+m²/5=2m²/5-1

　　证毕。

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