考研数学大纲解析之中值定理

时间:2018-05-21 12:16:48 考研大纲 我要投稿

考研数学大纲解析之中值定理

  中值定理的相关证明是考研数学中公认的重点和难点,往年这部分的常考证明题这种大题。然而最近两年没考这一部分大题。2014年的高数证明题考的函数不等式的证明,而2015出乎意料地考了一个用导数定义证明求导公式的证明题。虽然这两年没有考这部分的大题,但作为以前常考大题的考点,所以我们不能对这部分内容掉以轻心。

考研数学大纲解析之中值定理

  首先对于中值定理我们应该把这部分的定理内容弄清楚。我们要用这些定理去证明别的结论,先要自己把这些内容弄透、弄熟。具体来说,关于这部分涉及的定理有:费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、零点存在定理、介值定理、最值定理和积分中值定理。前四个定理属于微分中值定理的部分,中间三个定理属于闭区间上连续函数的性质,最后一个为积分相关定理。而这里,除了闭区间上连续函数的性质这几个定理外,其余定理是要求我们会证明的。

  其次,我们在现阶段应总结真题中考过的此类题目的处理思路。这部分工作可以自己完成,但可能需要花费一些时间。

  中值相关证明大部分情况下应从结论出发。考研中所要求的关于中值定理这块的证明百分之六十到七十都是要去用罗尔定理来证明的。在做此类证明时,我们要看所要证明的式子是含一个中值还是两个中值,紧接着要看所要求的中值是属于开区间还是闭区间的'。如果是在含有一个中值的前提下,再看是否含有导数。若是含一个中值,且这个中值时属于开区间的,并且有含有导数,这时我们往往要考研罗尔定理。在确定用罗尔定理的前提下,紧接着我们就是构造辅助函数并且找两个点的函数值相等,当然这里我们在找两个相等点时,不一定要求是找区间的端点,也有可能是区间内部的点。如果含有一个中值,中值所属于的区间是开区间或者是闭区间,并且不含有导数,那考虑闭区间上连续函数的性质,在第一章闭区间上连续里我们有两个常用的定理--零点定理和介值定理。如果区间是开区间则选择零点定理,如果区间是闭区间则选择介值定理来证明。

  说到这里,一个中值的情况我们就分析完了。下面我们主要谈谈如何考虑两个中值的情况。如果需要证明的式子中含有两个中值,这个时候我们要考虑需要用几次定理来证明。我们知道用一次定理得到的式子只含有一个中值,即使是比较麻烦的柯西中值定理也是这样。因此,若是要出现两个中值,那一定是用了两次中值定理。当然,我们在用两次定理后,这时一定会得到两个式子,而最终所得到的式子含两个中值应该为前面我们所得到的两个式子合并后的结果。根据历年真题的详细解读,含有两个中值的情况一般我们会考虑用两次拉格朗日中值定理或一次拉格朗日中值定理和一次柯西定理。具体怎么用这个两个定理,以及如何选择辅助函数,我们一般可以通过所要证明的式子来确定。

  如果所要证明的式子有三个中值,这种情况和上面两个中值的情况是类似的。一般情况下,如果三个中值要求是不同点,则一般分区间,我们可以考虑利用三次拉格朗日中值定理来处理。

  因此,对于这一块的有关中值定理的内容,要从中值出发,找相关的特质点,来确定所用是哪一个中值定理,到底用一次还是用两次。又或者两个结合起来用,又或者用三次中值定理来解决。无论怎样,把基本定理整明白,理清我们上面分析真题的思路和方法。当然有上述这些情况的分析,并不是就可以解决掉所有有关这方面的题目了,毕竟是真题,它其中的变形是多样的,因此,在我们有了上述大题分析题目的思路情况下,还需要把各个细节给打通。所以当我们确定用罗尔定理了,紧接着要考虑的就是辅助函数的构造,以及要找函数值相等的点。又或者当我们确定用拉格朗日中值定理或柯西中值定理时,也需要我们考虑有关辅助函数的构造。因此,如何选择中值定理,如何考虑辅助函数的构造是需要我们仔细琢磨,慢慢精通的。

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