例析带电粒子在复合场中的运动问题
● 李希花例析带电粒子在复合场中的运动问题
带电粒子在复合场中的运动问题是电磁场的综合问题，这类问题的显著特点是粒子的运动情况和轨迹较为复杂、抽象、多变，因而这部分习题最能考查学生分析问题的能力。解决这类问题与解决力学题目方法类似，不同之处是多了电场力和洛伦兹力，因此，带电粒子在复合场中的运动问题除了利用力学三大观点（动力学观点、能量观点、动量观点）来分析外，还要注意电场和磁场对带电粒子的作用特点，如电场力做功与路径无关，洛伦兹力方向始终和运动速度方向垂直，永不做功等。
例1 一个质量为、带电荷量为的带正电小球和一个质量也为不带电的小球相距，放在绝缘光滑水平面上，当加上如图1所示的匀强电场和匀强磁场后，（，）带电小球开始运动与不带电小球相碰，并粘在一起，合为一体，问：
（1）两球碰后速度多大？
（2）两球碰后到两球离开水平面，还要前进多远？（）
解析 带电小球在电场力作用下加速运动，与不带电的小球碰撞两球合为一体，碰撞前小球的速度可以用动能定理求出，电场力的功等于小球动能的增量；也可以利用牛顿第二定律和运动学公式求出。两球碰撞过程虽然系统受电场力，但比起两球碰撞的作用力小得多，碰撞时间又很短，可认为动量守恒，两球碰撞后速度继续增大，增大到某一数值洛伦兹力与重力平衡，两球离开水平面，应该注意，碰撞后与碰撞前应用动能定理的研究对象不同。
（1）两球碰撞前由动能定理：
所以
两球碰撞动量守恒：，
（2）两球离开水平面时，对水平面无压力，即洛伦兹力与重力平衡，，
所以。
碰后到两球离开水平面，由动能定理：。
。
例2 如图2所示，有一半径为的圆柱绕竖直轴以角速度匀速转动，在圆柱体的左侧有一水平向右的匀强电场。今有一质量为带正电的小物体贴在圆柱面上，为使物体沿圆柱面竖直方向以速度匀速下滑，需加一个匀强磁场，且物体所受的洛伦兹力、重力及摩擦力在一个平面内，此磁场的磁感应强度最小为多少？方向如何？物体与圆柱面间的'动摩擦系数为多少？
解析 电场力只对垂直于圆切面的压力，对的运动没有直接影响。为使物体沿圆柱面竖直匀速下滑，在圆柱面垂直电场的平面内，受重力、摩擦力和洛伦兹力作用而平衡。
此过程中，物体却随圆柱一起以速度转动，又要相对圆柱以速度斜向下滑，竖直向下的运动速度是上述两个运动的合速度，而洛伦兹力与合运动垂直，即沿水平方向；摩擦力与相对运动方向相反，即斜向上，如图3所示。
因速度三角形与力的三角形相似，对应边成比例，且，得。
方向沿水平且与圆柱转向相反，又因，且。所以。
说明：解此题的关键是空间想象要清楚。一是将物体的空间受力转化为垂直于电场沿圆柱切面的平面受力；另一个是对物体运动情况的想象，只有弄清物体相对圆柱的相对运动方向，才能确定摩擦力方向是斜向上而不是竖直向上，这是难度最大之处，而洛伦兹力永远和物体运动方向垂直，即沿水平方向。
例3 如图4所示，质量为、电量为的带正电粒子，以初速度垂直射入相互正交的匀强电场和匀强磁场，从点离开该区域的速率为，此时侧移量为，下列说法中正确的是（ ）
A．在P点带电粒子所受磁场力有可能比电场力大
B．带电粒子的加速度大小恒为
C．带电粒子到达P点的速度
D．带电粒子到达P点的速率
解析 带电粒子进入电场时，受到的电场力竖直向上，受到磁场力竖直向下，由于这时＞，粒子向上偏转且能从P点射出；但粒子在侧移过程中，电场力对其做正功，其速度不断增大，亦随之增大，故到达P点时有可能使＞，选项A正确。
带电粒子进入该区域后，速度增大，且、通常亦不在同一直线上，加速度除进入瞬间为外，其他各处均不为该值，选项B错。
由于粒子在正交电、磁场中受洛伦兹力和电场力不相互平衡，做变加速运动，其轨迹既非圆弧，亦非抛物线，不能用匀变速运动有关干什么求解，可考虑用动能定理求解，因为在以上过程中洛伦兹力对带电粒子不做功，电场力对其做正功，则有
，所以，故选项C正确，选项D错误。
答案：A、C。
当粒子所受电场力和洛伦兹力的合力不为零时，粒子做曲线运动，这时其轨道既非圆弧、亦非抛物线，属变加速曲线运动，不能用匀变速运动或圆周运动等规律解答有关问题，可考虑用能量或动量解答。
例4 如图5所示，两块水平放置的金属板长为，间距为，两板间有方向垂直纸面向里的匀强磁场和图示的脉动电压，当时，质量为，电量为的正粒子，以速度从两板中央水平射入，不计重力，试分析：
（1）粒子在两板间如何运动？会不会碰到极板上？
（2）粒子在两板间的运动时间是多少？
解析 （1）~10-4s内，粒子同时受到方向相反的电场力和洛伦兹力的作用，大小分别为 ；。
因为，所以粒子做匀速直线运动，相应的位移为。
在10-4s~2×10-4s内无电场，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨道半径为
。
运动周期为 。
所以，粒子不会打到极板上，并在无电场时间内，恰好在磁场中运动一周。当两板间又周期性加上电压时，粒子又重复上述运动，轨迹如图6所示。
（2）粒子在极板间匀速运动的总时间为：
而做圆周运动的时间为：
所以，在两板间运动的总时间为： 。
说明：在上述分析中，应用了等效思维和形象思维：将粒子的复杂运动等效为两个简单运动；利用轨迹图，形象、直观地反映粒子在两板间的运动及其所需时间。
例5 如图7所示，在宽的区域内存在着互相垂直的匀强磁场和匀强电场，一电子从点垂直于电场、磁场方向射入时恰能做匀速直线运动且从点射出，设电子以同样的初速度从点射入时只撤去区域内磁场，则电子从点射出，、相距，若电子以同样的初速度从点射入时只撤去区域内电场，则粒子将从点射出，求：
（1）电子从点射出前的轨道半径；
（2）比较电子从、、点射出时的动能、和的大小；
（3）间的距离。
解析 （1）第1次电子做匀速直线运动，有；第2次属于电偏转，电子做类平抛运动（沿水平方向做匀速直线运动，沿竖直方向做匀加速直线运动），轨迹为抛物线，偏移距离；
第三次属于磁偏转，电子在洛伦兹力作用下做圆周运动，轨迹为圆弧，有。解以上三式可得，即
（2）第1次电子做匀速运动，动能不变，第2次电场力对电子做正功，电子动能增加；第3次洛伦兹力对电子不做功（只改变速度方向不改变速度大小），电子动能不变，故＞＝。
（3）第3次电子从点射出时，轨迹为圆弧示意图如图8所示，由几何关系可得，解得。
故间距
说明：对于有界匀强电场和有界磁场问题，要特别注意电偏转和磁偏转的不同。
例6 竖直平面里的平面直角坐标系，轴与水平向左的匀强电场方向相同，轴竖直向上，匀强磁场垂直于平面向里（如图9所示），。一个质量为，带电量为的质点，恰好在平面中做匀速直线运动，试分析计算：
（1）带电质点的速度大小和方向。
（2）带电质点运动中恰好通过坐标原点时，突然撤去磁场，经过一段时间它从轴上的点经过，带电质点由到运动时间多长？距离多大？
解析 （1）带电质点在平面中做匀速直线运动时，受水平向右的电场力（）、竖直向下的重力（）和洛伦兹力（）作用；合力为零。电场力，重力；它们的合力（如图10），与水平方向夹30°角，斜向下；洛伦兹力（）与大小相等、方向相反（），可知带电质点的速度大小为。速度方向与轴夹角为60°。
（2）带电质点通过坐标原点时开始计时，磁场撤消后带电质点的运动，是水平方向（即方向）上初速度为，加速度为的匀加速运动与竖直方向（即方向）上初速度为的竖直上抛运动的合运动。由于A点与O点处在同一水平线上，所以由O到A的运动时间由竖直方向上的运动决定：。
之间的距离，即A点在轴上的坐标由水平方向上的运动决定：。
加速度。代入上式得。
撤消磁场后带电质点在重力和电场力作用下的运动轨迹如图11所示。
答案：（1），方向与轴夹角为60°。
（2），。
点评：本题也可以转换审题的视角，改变分析问题的观点，找出新的解题方法。
在撤消磁场后，带电质点所受重力与电场力合力，与轴夹30°角斜向下。所以带电质点从O到A的运动也是一种“类平抛运动”——跟轴夹60°角，的匀速运动。与F（合力）方向上（跟V垂直）加速度为的匀加速运动的合运动，故处理问题的方向可采用处理平抛运动问题的方法。
两点建议：
对复合场问题，力的种类较多，受力分析要全面，而核心之点在于，洛伦兹力随着带电体运动状态的改变而发生变化，从而又导致运动状态发生新的变化，因此分析力时往往要结合运动状态进行。运动过程的分析是难点，一方面要正确分析受力，明白初始状态。另一方面，要结合动力学规律综合分析。
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