带电粒子在复合场中运动模型例析
带电粒子在复合场中运动模型例析
带电粒子在复合场中运动，物理情景比较复杂，是每年高考命题的热点；这部分内容从本质上讲是一个力学问题，应根据力学问题的研究思路和运用力学的基本规律求解。笔者对带电粒子在复合场中运动的基本类型和解法归纳如下，供同学们学习时参考。
一：求解带电粒子在复合场中运动的基本思路
1：对带电粒子进行受力分析，特别注意电场力和磁场力的特点
2：分析带电粒子在复合场中运动的图景
3：抽象出运动模型
4：运动物理规律对带电粒子运动进行数学描述，建立相关的几何关系方程
5：建立方程求解并验证
二：带电粒子在复合场中运动的物理模型
1：匀速直线运动
题1、设在地面上方的真空中，存在的匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向相同，电场强度的大小E=4.0V/m，磁感应强度的大小B=0.15T，今有一个带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿垂直于场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场所有可能的方向（角度可以用反三角函数表示）。
【解析】（1）根据带电粒子做匀速直线运动的条件，
可知带电粒子所受的电场力，重力、磁场力一定在同一
竖直平面内，合力为零，如图1所示，质点的速
度方向一定垂直于纸面向外。
由三力平衡的条件可知
设磁场力方向与重力方向的夹角为θ，将电场力和洛仑兹力方向垂直于重力方向分解，则有：qEsinθ=qvBcosθ 解得tanθ=vB/E =0.75 θ=arctan0.75
即磁场方向是沿着与重力方向夹角θ=arctan0.75，且斜向下方的一切方向。
2、匀变速直线运动
题2、质量为m，电量为+q的小球以初速度v0以与水平方向成θ角射出，如图2所示，如果在空间加上一定大小的匀强电场和匀强磁场后，能保证小球沿v0方向做匀减速直线运动，试求所加匀强电场的最小值和匀强磁场的方向，加了这个二个场后，经多长时间速度变为零?
【解析】由题知小球在重力和电场力作用下沿v0方向做匀减速直线运动，可知垂直v0方向上合外力为零，根据力的分解得，重力与电场力的合力沿v0所在直线.，磁场方向平行于v0所在直线。
建如图3所示坐标系，设场强E与v0成φ角，则受力如图：
由牛顿第二定律可得
Eqsinφ-mgcosθ=0 ①
Eqcosφ-mgsinθ=ma ②
由①式得：E=mgcosθ／qsinφ ③
由③式得：φ＝90°时，E最小为Emin＝mgcosθ／q
其方向与v0垂直斜向上
将φ＝90°代入②式可得a＝－gsinθ
即在场强最小时，小球沿v0做加速度为a＝－gsinθ的匀减速直线运动，设运动时间为t时速度为0，则：0＝v0－gsinθt
可得：t=
【评析】以上两例研究带电粒子在电场力，重力、磁场力共同作用下的直线运动；题1没有给出图示，需要学生自己在空间建立电场、磁场的方向以及三个共点力平衡的物理情景，对学生的知识和能力要求比较高。题2考查学生分析综合能力及思维发散能力，部分学生挖掘隐含条件的能力不够，不能据“保证小球仍沿v0方向做匀减速直线运动”的条件，推测重力和电场力在垂直于v0方向合力为零，磁场方向平行于v0所在直线，从而无法切入。
（三）：匀速圆周运动
题3：在如图4所示的直角坐标系中，坐标原点O处固定有正点电荷，另有平行于y轴的匀强磁场.一个质量为m、带电量+q的微粒，恰能以y轴上点为圆心作匀速圆周运动，其轨迹平面与x O z平面平行，角速度为，旋转方向如图中箭头所示。试求匀强磁场的磁感应强度大小和方向？
【解析】：带电微粒受重力、库仑力、洛仑兹力的作用，这三个
力的合力为向心力. 如图5所示，设圆轨迹半径为R.，圆周上一点
和坐标原点连线与y轴夹角为θ. 带电微粒动力学方程为：
（1）
（2）
而 （3）
（4）
由各式消去和得
，方向沿y负方向。
【评析】本题考查有关匀速圆周运动的知识，要求学生：（1）明确向心力有洛仑兹力、库仑力的水平分力的合力提供。（2）具有一定的空间想象力。
（四）、摆线运动
题4．设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的.匀强磁场,如图5所示.已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下,从静止开始自A点沿曲线ACB运动,到达B点时速度为零.C点是运动的最低点.忽略重力,以下说法中正确的是:
这离子必带正电荷.
A点和B点位于同一高度. 图5
C.离子在C点时速度最大.
D.离子到达B点后,将沿原曲线返回A点.
【解析】 A：因平行板间的电场方向向下，依题意离子由A点无初速度释放后向下运动，此时离子不受洛仑兹力，仅受电场力，则电场力方向向下，所以离子必须带正电，故A正确。
B：离子到达B点时速度为零，由动能定理知，离子从A到B的运动过程中，外力对离子做功的代数和为零，但由于洛仑兹力不做功，故离子从A到B的运动过程中电场力做功为零，因此离子在A、B两点的电势能相等。A、B两点的电势相等，即 A、B两点应在同一个高度，故B正确。
C：由于C点是在运动的最底点，离子由A运动到C点电场力做功最多，由动能定理知，离子在C点的速度应最大，故C正确。
D：离子运动到B点时，所处的运动状态与在A点时相同，离子达到B点后将要开始的运动也将向右偏，不可能回到A，故D错误。
【评析】本例关键在于粒子的运动过程分析，对于做变加速曲线运动的粒子，受力分析和能量分析，是研究粒子在复合场中运动问题的两种基本方法。
（五）：直线运动和圆周运动交替运动
题5、如图7所示，X轴上方有匀强磁场B，下方有竖直向下匀强电场E。电量为q、质量为m（重力不计），粒子静止在y轴上。X轴上有一点N(L.0)，要使粒子在y轴上由静止释放而能到达N点，问：(1)粒子应带何种电荷? 释放点M应满足什么条件? (2)粒子从M点运动到N点经历多长的时间?
【解析】：(1) 粒子由静止释放一定要先受电场力作用 (磁场对静止电荷没有作用力)，所以 M点要在-Y轴上。要进入磁场必先向上运动，静上的电荷要向上运动必须受到向上的电场力作用，而场强 E方向是向下的，所以粒子带负电。
(2)粒子在M点受向上电场力，从静止出发做匀加速运动。在 O点进入匀强磁场后，只受洛仑兹力(方向沿+X轴)做匀速周围运动，经半个周期，回到X轴上的P点，进入匀强电场，在电场力作用下做匀减速直线运动直到速度为零。然后再向上做匀加速运动，在X轴上P点进入匀强磁场，做匀速圆运动，经半个周期回到X轴上的Q点，进入匀强电场，再在电场力作用下做匀减速运动直到速度为零。此后，粒子重复上述运动直到 X轴上的N点，运动轨迹如图8所示。
【解析】（1）设释放点M的坐标为(0.-yO)，在电场中由静止加速，
则：qEyO= mV2 ①
在匀强磁场中粒子以速率V做匀速圆周运动， 有：qBV=mV2/R ②
设n为粒子做匀速圆周运动的次数(正整数)则：L=n2R， 所以R=L/2n ③
解①②③式得：V=qBL/2mn， 所以yO=qB2L2/8n2mE (式中n为正整数)
(2)粒子由M运动到N在电场中的加速运动和减速运动的次数为(2n-1)次，每次加速或减速的时间都相等，设为t1，则：yO= at1 2= qEt12/m
所以t1=
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半周期为t2，共n次，t2=πm/qB
粒子从M点运动到N点共经历的时间为：
t=(2n-1)t1+nt2=(2n-1)BL/2nE+nπm/qB (n=1、2、3……)
题6：如图9所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）
解析：如图10所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为v，根据动能定理，有
设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，
有
由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r。由以上各式解得
。
题7、平行金属，板长1.4米，两板相距30厘米，两板间匀强磁场的B为1.3×10-3T，两板间所加电压随时间变化关系如11图所示。当t=0时，有一个a粒子从左侧两板中央以V=4×103米/秒的速度垂直于磁场方向射入，如12图所示。不计a粒子的重力，求：该粒子能否穿过金属板间区域?若不能，打在何处?若能，则需多长时间? (已知a粒子电量q=3.2×10-19库，质量m=6.64×10-27千克)
【解析】：在t=0到t=1×10-4秒时间内，两板间加有电压，a粒子受到电场力和洛仑兹力分别为：F=qu/d=q×1.56/0.3=5.2q 方向竖直向下
f=qBv=q×1.3×10-3×4×103=5.2q 方向竖直向上
因此F=f，故做匀速直线运动，其位移为：△S=v△t=4×103×1×10-4=0.4米
在t=1×10-4秒到t=2×10-4秒时间内，两板间无电场，a粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，其轨迹半径为：
r=mv/qB=(6.64×10-27×4×103)/(3.2×10-19×1.3×10-3)=6.37×10-2米＜d/4
所以粒子不会与金属板相碰。面a粒子做匀速圆周运动的周期为：
T=2πm/qB=(2×3.14×6.64×10-27)/(3.2×10-19×1.3×10-3)=1.0×10-4秒
则在不加电压的时间内，a粒子恰好能在磁场中运动一周。当两板间又加上第2个周期和第3个周期的电压时，a粒子将重复上述的运动。故经3/4周期飞出板外(t=6.5×10-4秒)其运动轨迹如13图所示。
【评析】这类题说明带电粒子的合运动是直线运动和圆周运动的结合，虽然轨迹是直线和1/2圆周、3/4圆周或整圆周结合，但本质是一样的，都是在库仑力、洛仑兹力的共同作用下的运动规律。体现粒子在复合场中运动的周期性、重复性、回归性。体现物理的和谐之美。
（六）：螺旋线运动
题8：在某一个空间中，存在匀强电场和匀强磁场，方向相同，大小分别为E、B。带正电的粒子垂直射入电场线和磁感应线平行的复合场中，如图14。试讨论粒子的运动情况。（不考虑重力）
【解析】设粒子的质量为m，电量为q。在平行B的方向受电场力的作用，粒子做匀加速直线运动，
水平位移为：
水平速度为：v = at = F/m t 图14
在垂直B的方向上，受磁场力的作用做匀速圆周运动，轨道半径和周期分别为：
带电粒子运动轨迹是沿B方向做匀加速直线运动和垂直B方向做匀速圆周运动的合运动，是不等螺距的螺旋线运动，如果电场线和磁感应线反向，粒子旋转方向相反或加速方向相反，但运动规律相同。
【解题回顾】 带电粒子在复合场中的运动集中融合力学、电磁学等知识，其特点是构思新颖、综合性强，突出考查学生对物理过程和运动规律的综合分析能力、运用数学知识解决物理问题的能力及空间想象能力.
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