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线性方程组关于调味品配方问题的应用分析
摘要： 利用线性方程组对调味品配方问题进行建模分析，借助matlab计算工具得到脱销调味品的配制方案，并用最大无关组求得不能脱销的调味品种类，以保证各种调味品正常销售。
关键词： 线性方程组;Matlab;调味品配方
引言
中国的饮食文化和烹调艺术是中国五千年文明史的一部分，中国调味品的生产历史悠久，源远流长。早在春秋时期人们就非常重视调味，人们将各种单一的调料组合起来，产生了各种风格各异的口味，形成了鲁、川、苏、粤、闽、浙、湘、徽等不同的风味菜系，调味品的配制也被格外重视。
线性方程组[1]作为最简单也是最重要的一类代数方程组，在生活中的应用非常广泛。在化工、农业、日常生活中包含的数学问题中，大都会遇到解线性方程组问题。文章主要针对脱销调味品的配制问题，利用线性方程组对脱销调味品进行建模分析，通过数学软件求解，得出脱销调味品的配制方案及不能脱销调味品的种类，以达到所有调味品都能正常销售的目的。
1、基本概念与结论
定理1
n元非齐次线性方程组AX=b有解?圳R(A)=R(A，b)。
若R(A)=R(A，b)=n时，则方程组有唯一解。
若R(A)=R(A，b)
定理2
如果?酌0为AX=b的一个特解，?孜1，?孜2，…?孜n-r是其导出组的一个基础解系，则非齐次线性方程组AX=b的通解表示成：
X=?酌0+k1?孜1+k2?孜2+…+?孜n-r?孜n-r， k1，k2，…，kn-r∈R
2、调味品配方问题应用分析
2.1 问题的提出
在化工、农业、养殖业、医药、日常膳食等方面经常涉及到配方问题。四川火锅，在制作配料上以”厚味重油“著称，鲜香味美，制作精细，口味大众化，表现了中国烹饪的包容性。现以火锅调味品的配制为例。某调料公司用7种原料“辣椒，花椒，大蒜，老姜，大料，大葱，冰糖”按照不同的比例制造6种不同麻辣口味的调味品(A，B，C，D，E，F)，这6种调味品的配方如表1(单位：kg)。
如果第F种调味品现已脱销，为了保证公司的调味品都正常销售，能否用其他调味品配制脱销的第F种调味品?如何配制?
2.2 模型分析
假设考虑的配方问题中涉及的原料混合之后不发生化学反应。设第F种调味品可以有其余的调味品按照一定比例配制而得，且所需A，B，C，D，E，F调味品分别为x1，x2，x3，x4，x5，得到的混合物中7种原料分别为4.5g，6g，3g，3g，1.5g，1.5g，0.75g，故可得方程组为：
3x1+1.5x2+4.5x3+7.5x4+9x5=4.52x1+4x2+0x3+8x4+x5=6x1+2x2+0x3+4x4+2x5=3x1+2x2+0x3+4x4+x5=30.5x1+x2+0x3+2x4+2x5=1.50.5x1+x2+0x3+2x4+2x5=1.50.25x1+0.5x2+0x3+2x4+x5=0.75
写成矩阵形式为：AX=b
2.3 模型求解
因此，第F种调味品可以有其余的调味品按照上述比例配制而得。
当C1为0时，配制仅需要A，B两种调味品按照1：1的比例配制即可。
2.4 问题延伸
必须保证哪些调味品不能脱销，才能配制出其余调味品，以保证调味品都能正常销售?
设每种调味品所含原料构成一个7维列向量，则这六种调味品就构成了一个向量组。由r(A，b)=4可知，该向量组的最大无关组中含有4个向量。又由rref([A，b])得到的简化行阶梯型矩阵，可知A，B，D，E或者A，B，D，E这四种调味品所在的列向量构成了一个最大无关组，因而这四种调味品不脱销才能保证所有调味品的正常销售。
3、结语
为了保证各种调味品都能正常销售，在某些调味品脱销的情况下，可以考虑用现有的调味品来配制已经脱销的调味品。文章针对此问题，对调味品的配方问题进行建模研究，得到了脱销的调味品的配制方案及不能脱销调味品的种类。现有的调味品只需含有这些不能脱销的调味品种类，如果其余调味品脱销则可通过配制得到，从而不影响所有的调味品的正常销售。因此，在实际生活中，调味品公司需要对不能脱销调味品有足够的库存，才能保证所有调味品的正常销售。
参考文献：
[1]黄庭祝，陈孝予.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2009：96-102.
[2]牟谷芳，张秋燕，陈骑兵，李秋敏.数学实验[M].北京：高等教育出版社，2012：88-90.
[3]姚继承，陈来胜.调味品现状与发展趋势分析[J].中国调味品，2011，6(36)：24-34.
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