各向异性介质中多分量感应测井响应的计算
各向异性介质中多分量感应测井响应的计算
3.1 方法原理
3.1.1多份量感应测井的原理
多分量感应测井仪可直接测量地层水平电阻率和垂直电阻率，还可得到地层倾斜角和仪器方位角(其线圈结构见图[1]3.1)，仪器的3个彼此垂直的发射线圈发射一定频率的交流电，3个彼此垂直的接收线圈接收各个方向的地层信息可得到9个磁场分量，经过一定的数据处理可得到9个电导率分量(为消除直耦分量的影响，实际上还需配置3个彼此垂直的辅助接收线圈)。相对于所考虑的地层模型是垂直井眼和水平方向各向同性，在垂直于地层的发射线圈中施加一定频率的交流电，这时交流电必然在井周围地层中感应出涡流，感应涡流平行于地层流动，这时接收线圈中接收的主要是反映是地层水平电阻率信息；当发射线圈平行于地层时，感应涡流大多数都垂直于地层流动，这时接收线圈中接收的主要是反映是地层垂直信息。通过对接收线圈中接收到的3个方向的信息进行处理，即可得到地层水平电导率和垂直电导率。
3.1.2三维有限差分数值模拟方法
这里所用到的方法是Yee提出的交错网格用有限差分法用于计算各向异性介质中多分量感应测井响应[7,8]。因为各向异性计算问题，涉及到大量复杂的数学公式推导，近两个月时间里我仅是在理解科研组以推导的公式基础之上，做了一些基础性质的理论公式推导，为未来学习和研究工作做些准备。
首先用Yee提出交错网格有限差分法离散得到三个电场分量方程式(2.2.2.7a)-(2.2.
2.7c)。可见每个方程中只有13个未知的场量。若将电场未知分量按 ， 和 的顺序排列[8]，得到如下矩阵方程，其中 和 分别是 三个方向上的未知电场离散化分量的个数。
, （3.1.2.1）
式中 是三个电场分量在离散网格边上的值组成的列向量，上角标 表示转置；Ｂ是由等效电导率和背景场在离散网格边上的值的乘积构成的等效源，也是一个与 形式相似的列向量； 是对称稀疏矩阵，其结构为
, (3.1.2.2)
式中 , 和 , , 和 , , 和 分别是由方程 (2.2.2.7a),(2.2.2.7b)和(2.2.2.7c)离散化得到的系数矩阵,其中 , 和 分别是 和 阶方阵。在上述等式中电导率的计算与离散化的场分布有关。对于图(2.1)的离散化场分布，电场的切向分量连续，每个离散化边上的电场与相邻４个单元的电性参数有关，电场所处电的等效电导率是４个单元的电导率加权得到。
其次，如何在计算机上实现解此线性方程组。对系数矩阵的结构分析知道, 的每行最多有13个元素， 而且 是超大型稀疏矩阵，其条件数较大，则线性代数方程组解法的选择是得到正确解的关键。在此采用了Krylov 子空间迭代解法[8]中的广义乘积型双共轭梯度方法GPBiCG（Pbicg）。
3.2 程序流程
第4章 数值模拟结果及分析
为考虑各向异性地层中多分量电磁测井的响应问题，用第3章讨论的方法分别建立不同的模型进行数值计算。限于时间本文仅对水平层垂直井中的各向异性情况进行了响应模拟，通过数值响应结果，来分析响应特征。
首先，讨论如图(4.1)的模型，是一个各向同性的三层模型，其为垂直电阻率和水平电阻率均为2 .m，中间夹2m厚的垂直电阻率和水平电阻率均为5 .m各向同性地层，。本文采用的是模拟仪器是单发多收(7个接收线圈)，仪器轴平行于井眼，接收线圈的间距为0.2m，且其线圈的发射频率为39kHZ。最终结果如图(4.2),Rt表示地层模型电阻率，FDM表示用三维有限差分模拟的视电阻率(在从磁场分量进行视电阻率转换过程中需要计
图4.1各向同性模型 图4.2数值模拟各向同性模型结果
算线圈系常数)。从图中可知，在水平层垂直测井中，各向同性地层三维有限差分模拟出的视电阻率曲线与地层模型的电阻率基本是吻合的，但由于边界反射场的影响，计算结果比实际值稍高。
图4.3各向异性模型1 图4.4数值模拟各向同性1模型结果
图(4.3) 是一个各向异性的三层模型，围岩的垂直电阻率和水平电阻率均为2 .m，中间夹2m厚的各向异性地层，其垂直电阻率10 .m，而水平电阻率均为5 .m。用和上述模型相同的发射与接收。其结果为图(4.4)，图中Rh、Rv分别指模型水平电阻率和垂直电阻率。从图中可知，水平层中利用垂直发射接收线圈系时，求得的视电阻率曲线与地层模型水平电阻率是基本吻合的，而与垂直电阻率没有关系。为再次证明此点，由各向同性模型如图(4.1)和各向异性模型图(4.3)，数值模拟计算出的地层视电阻率如图(4.5),可见求得结果是完全相同的，原因是这两个模型中水平电阻率是相同的。证明了此时求得视电阻率只响应水平电阻率。常规仪器无法识别各向异性地层正是这个原因。
如图(4.6)仍是各向异性的模型，较模型图(4.3)仅是水平电阻率变为1 .m。数值模拟结果见图(4.7)，图中Rth、Rtv分别指此模型水平电阻率和垂直电阻率。再次证明了垂直发射接收线圈系中求得视电阻率响应的是水平电阻率，也可看出三维有限差分模拟出的视电阻率曲线与地层模型的电阻率曲线基本是吻合的。
图4.6各向异性模型2 图4.7数值模拟各向同性模型2结果图
感应测井中视电阻率是通过场值换算而来的，因此进一步讨论数值模拟出磁场强度。由模型图(4.1)、图(4.3)、图(4.6)用有限差分方法计算得到的磁场强度Z方向的分量如图(4.8),分别表示为FDM(Iso)、FDM(Aniso1)、FDM(Aniso2)。可见由各向同性模型图(4.1)与各向异性模型1图(4.3),计算Hz是完全相同的，但与各向异性模型2图(4.6)的结果是不同的，因为前两个模型的水平电阻率都是5.m,而后一模型是1.m，说明了磁场强度Z方向的分量反映的是地层水平电阻率，由Hz计算得到的视电阻率，必然只反映水平电阻率，而无法区别各向异性地层，正是常规测井仪出现问题的症结所在。又考虑其它磁场分量Hx(Hy)，对于本文中用到的模型中，其Hx与Hy是在一个平面上的，大小相同符号相反，探测特性基本一致，此处没有再绘制Hy曲线图。由模型图(4.1)、图(4.3)、图(4.6)用计算得到的磁场强度分量Hx在图(4.9)分别表示为FDM(Iso)、FDM(Aniso1) 、FDM(Aniso2)。可见算出的磁场强度分量Hx值是各不相同的，即使水平电阻率相同(模型图4.1与图4.3)，其Hx的值也不相同，在各向异性模型图(4.3)比在各向同性下算得值小，这与Hz是不相同的。说明磁场的其它分量Hx(或Hy)在这种模型中可以作为区分各向异性地层的参数
图4.8数值模拟三个模型的磁场强度Hz 图4.9 数值模拟三个模型的磁场强度Hz
并且磁场强度分量Hx曲线对地层界面反映强烈，且出现负值。这是由于各向异性地层的存在导致感应场的产生，而在接收线圈上相位漂移过大所致，即趋肤效应很大。为了进一步验证上述结论，又计算了一个五层模型如图(4.10)，同样方法得到结果是图(4.11)和图(4.12)。
第5章 结论
经过两个多月的毕业设计，自己感觉增长了不少知识，尤其是对多分量感应测井有了一些了解，但更多的是看到了自身的不足，在以后生活中更的加倍努力学习。以下是通过此次毕业设计的出的结论：
(1)用交错网格有限差分方法导出了三维各向异性介质中Maxwell方程的离散化关系式，验证了用交错网格有限差分方法模拟三维电磁测量响应是准确；
(2) 在水平层垂直井中，磁场强度分量Hz只与地层水平电阻率有关，因此利用Hz无法识别各向异性地层。但磁场分量Hx、Hy与地层水平电阻率和垂直电阻率都有关,而且对地层界面比较敏感；
(3) 同轴垂直线圈发射和接收，视电阻率等于各向异性地层的水平电阻率。
本文所考虑的数值模拟，仅是一个方向发射与三个方向的接收，即垂直发射线圈系。由于时间有限，没有来得及讨论其它方向的发射线圈系，但仍此方法来讨论其它线圈系。对于更复杂的情况，如当地层或井眼倾斜情况。此处也没有进行讨论，只有以后再进一步研究。从简单的模型结果里可以知道，用交错网格有限差分可以进行三维各向异性地层电磁响应的数值模拟，结果表明多分量电磁测井可以给出更多的地层电阻率信息。进而可改善电性各向异性低阻储层的含油饱和度。文中的数值模拟算法及响应的模拟结果可用于多分量电磁测井仪设计参数的优化选择、多分量电磁测量数据的处理解释和各种环境因素校正方法的研究。
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