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刍议数学课堂教学中思维训练的量化设计
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多年来，笔者一直担任校青年教师优课比赛的评委，发现绝大多数青年教师都会在教学形式和教学手段上做文章，注重课件的制作和多媒体的使用，课堂教学中力求师生互动，这些都很好，但很少有人能全面地思考课堂教学中学生思维的密度和强度，思考何时练，何时点评，何时引申拓展，以及训练和拓展的程度．不久前笔者有幸参加江苏省邗江中学举办的全国课堂教学观摩研讨会，感受颇多，专家们对教材的分析、学情的了解、课堂时间的控制、问题设置的数量和难易度、课堂教学节奏的把握等都是无可挑剔的．那么，怎样才能合理地量化设计高中数学课堂教学中的思维训练呢？
一、遵循认知规律,创设问题情境，激发学生的思维火花
高中学生已经具备了较强的认知能力，学生的集中思维能力较强，同时还具有一定的发散思维的能力．教师的教学设计应当根据学生的认知规律进行，要由浅入深，循序渐进，不断地引发学生的思维．高一高二的新授课要更多地创设问题的情境，让学生去发现知识的发生发展过程．要多为学生设计阶梯，架桥铺路，让学生在探索知识的过程中生成能力．少数青年教师在教学中方法简单，知识讲解缺乏铺垫和引导，学生接受起来较为困难．如在对数运算公式后就寻问函数y=e|lnx|的图象的画法，其实学生还没有掌握对数运算公式．而在讲解函数值域求法时，学生还没有掌握函数值域问题的一般求法，就让学生去了求解问题：“函数y=log2(kx2+4kx+3)值域为R时的k值．”这些都是违背学生认知规律的做法．在课堂教学中,我们要努力创设各种不同的教学情境，帮学生开启思维之门,发挥他们各自的想象力．这样，教师方可因势利导，使教学事半功倍．深圳市数学特级教师李志敏在给学生上《双曲线的标准方程》一课时，针对学生已经学习了椭圆的标准方程的特点，让学生进行类比学习，他为学生设计了相关问题：（1）求双曲线标准方程有哪些基本步骤？（2）如何化简|(x+c)2+y2-(x-c)2+y2|=2a？（3）焦点在x轴和焦点在y轴的双曲线标准方程有何区别？（4）尝试求解课本例题，对照解答你能归纳双曲线标准方程的基本类型吗？让学生带着问题进行自主探究，并要求学生向教师质疑．学生探讨之后，教师对相关问题进行适度点拨，真是教者自如，学者轻松．
二、讲究民主教学，暴露思考过程，调整学生的思维方向
《学记》中有这样一句话：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”，说的是：引导而不牵着，鼓励而不压抑，开导而不灌输．高中数学教学中，要让学生多参与和讨论，要敢于放手让学生探究．没有学生的参与，就不能发现学生思维的不足，也就不能调整和引导学生进行科学思维．认识是一个走弯路的过程，要尊重学生的认知心理过程，要讲究民主，注意倾听，让学生把话说完，不要扑灭学生思维的火花．在一节题为《指数函数性质应用》的优课评比中，两位教师遇到同一种情况，在讲解不等式5x-1>5x-3时，教师用分类讨论的方法讲解，学生均提出与教师不同的方法，教师甲担心学生方法不好，影响教学任务的完成，便让学生下课后再讨论其他方法，而教师乙则让学生说完，结果学生用换元法很快得解，还有学生又提出数形结合的方法．从教学实效看，教师乙的做法注意到了学生在课堂教学中的参与度，教师甲则缺乏民主，浪费了极好的思维拓展的机会．可见，教学中应关注学生的学习行为，重视学生在课堂教学中的“参与度”．
教学必须讲“过程”，教师力求暴露学生的思维过程，不要过早地把结论告诉学生，要坚持“推迟判断”，不要轻易地将“窗户纸捅破”，教师要弄清楚什么是自己该做的，什么是应该让学生去做的，不能越俎代庖，要让学生感受到数学是自然的．苏霍姆林斯基认为，了解和研究学生是掌握教育艺术的基本功．教育艺术体现在尊重信任孩子，保护儿童道德幼芽，运用鼓励性评价激发心灵活力．有时教师对学生的想法，甚至是一点点的思维的火花给予肯定，都可能激发学生的学习兴趣．教师对学生“参与度”的关注程度，能影响学生的整个学习阶段，甚至是一生．
三、把握教学主线，倡导变式训练，控制教学的思维密度
波利亚认为：“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西．由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．”数学教育工作者，应当把握教学的主线，做到泾渭分明，并进行变式训练，这是“双基”教学的重要组成部分．要讲究知识之间的联系，帮助学生建立一个良好的认知结构．如果说没有系统的知识是一锅粥，不知道从哪儿下手的话，那么良好的知识结构就像一碗面条，线条分明，挑一根就能理顺一片．例如，在一节题为《两角和与差的三角函数》的复习课中，教者能通过设计求值、化简、证明等问题，将各种公式之间的联系教给学生，在问题设计中，将题目的条件作不断变化，激发学生对知识的理解．
数学课堂教学的本质是思维活动的教学，但一节课的思维密度的控制，直接影响学生的接受程度．在知识编排和问题设计中，应当注意抓住主体，适度拓展，通过变式教学渗透知识的相互联系，从而形成完整的知识体系．如在《直线与平面所成角的习题课》上，教者从“最小角定理”入手，设置了一系列的问题：（1）斜线与平面所成角为α，平面内过斜足的直线与斜线所成角为β，过斜足的直线与斜线在平面内的射影线所成角为γ，则cosγ=cosα·cosβ；（2）过平面内一个角的顶点的斜线上任意一点到角的两边距离相等，则斜线在平面内的射影线是平面内这个角平分线（如图１）；
图1（3）已知两条异面直线成60°角，过空间任意一点作直线与两条异面直线均成60°，这样的直线有几条？问题不断变化，由浅入深，但解决问题的本质没变，这就强化了对某一问题的认识．如果直接给出问题（3），其思维能力要求较高，思维的密度也必然加大．
四、优化教学手段，激发学习兴趣，提升教学的思维强度
俗话说：兴趣是最好的老师．教师的精彩引出能使学生一下子对知识产生兴趣．在讲解《用二分法解方程》时，一位教师从央视李勇主持的价格竞猜节目入手，引出二分法的解题思想，学生不仅有兴趣，而且很快理解了解题方法的本质．在讲解《中心投影和平行投影》一课时，教者让学生观看两幅世界名画《伏尔加河上的纤夫》和《最后的晚餐》，寻问学生绘画的艺术特点是什么，为什么能成为世界名画．从而引出具有中心投影的特点，直接引入这节课的主题，学生被深深地吸引了．在讲《椭圆标准方程》一课时，江苏省数学特级教师陶维林用几何画板演示如下问题：点A是定圆E内一定点，点B是圆E上任意一点，线段AB的中垂线为l，观察点B运动时会有什么特殊图形出现(如图２)．
【关键词】训练,量化,设计,思维,中,数学,课堂教学,刍议,
图2在演示过程中，直线l扫过平面的部分区域，恰好形成没有扫过的椭圆区域，此时，教者寻问：这个椭圆是哪个点的运动轨迹？学生很自然地去思考分析．此后教者继续寻问：为什么会形成椭圆这一轨迹？从而引出符合椭圆定义的轨迹问题．教学中学生的思维完全被教师牵引着，课堂的思维强度在不知不觉中增大了．
可见，课堂教学的思维容量不是通过设置高难度问题而得出来的，激发学生学习兴趣是增强思维容量，加大思维强度的最好途径．新时代教学技术手段的发展变化日新月异，这些教学技术手段运用于教学后对教学活动产生了巨大的影响，它不仅增加了课堂传播信息的窗口，扩大了学生的视野，而且实现了教学方法的改革，缩短了教学进程，提高了教学效益．但是这些教学技术手段只是教学辅助手段，不是运用得越多越好，要根据学生的接受能力和课堂的有效时间来选择相关的教学技术手段，才会发挥其巨大的效果．
在大力倡导教育改革的今天，数学课堂教学的设计是每位教师必须要研究和探讨的问题．正如江苏省数学特级教师陶维林所说，不管教育最终发展如何，教师上课始终要做到“三个带着”，即带着数学的本质来上课，带着数学教学的本质来上课，带着数学学习的本质来上课．数学教师的课堂教学永远是数学思维训练的教学，数学课堂教学的思维容量也会成为教师教学研究的永恒的话题．让我们精心设计课堂教学，科学引导，让每个学生都能学会探究知识和思考问题的方法，从而成为具有较高数学素质的优秀人才．