综合评价飞机性能与最佳飞行方案设计的问题(一)
飞机性能的评价与飞行方案的设计
摘要
本文解决的是一个综合评价飞机性能与最佳飞行方案设计的问题，并从航空公司角度对购买何种机型进行了详尽的讨论。
问题一，对目前在我国民航业运营的B747-100等17种型号的客机，通过线性加权的方法，采用客观赋权的方式将飞机的诸多性能指标综合为一个量化指标，进行了较为科学合理的评价，并对其性能优劣进行了排序：B747-100、L-1011……DC-9-10。
问题二，首先考虑将所有的旅客送达目的地以使旅客满意，建立多目标规划模型。由于飞机型号和数量的限制得出此模型与实际不符，进而对模型进行改进，引入了偏差变量使未搭乘飞机的人数最少，得到既满足旅客需求又节约成本的最佳飞行方案：在5条航线上共布置14架飞机，共有16名旅客未能乘机，消耗燃料共计4.8668e+004 (gal)操作费用共计9.7793e+004($)
问题三，在问题一的基础上，整体比较了波音公司（B型号）和麦道公司(MD和DC型号)生产的客机的性能，得出波音公司生产的飞机性整体性能较优。对如何购买飞机，我们引入市场需求指数、飞机的经济性和综合性能三项指标，并对表一中波音公司生产的8种型号的飞机进行了综合考查，利用层次分析法得出了较好的购买方案.即购买B747-100和B757-200两架飞机。
关键词：性能评价；线性加权方法；多目标规划；层次分析
一、问题重述
1.背景
随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。飞机型号及其布置的选择合理与否，将直接影响到航空公司的效益，甚至生死存亡。
2.问题
问题一
目前在我国民航业运营的各种客机的性能参数见表1，根据表1的数据综合评价各客机的性能。将表1中17种不同型号的飞机进行依次编号为1，2，…，17。
表1各种飞机的性能参数
编号 飞机型号 拥有座位数 航速（mph） 飞行距离（miles） 燃料消耗（ gal/hr） 操作费用（$/hr）
1 B747-100 405 519 3149 3529 6132
2 L-1011 296 498 1631 2215 3885
3 DC-10 288 484 1410 2174 4236
4 A300 B4 258 460 1221 1482 3526
5 A310-300 240 473 1512 1574 3484
6 B767-300 230 478 1668 1503 3334
7 B767-200 193 475 1736 1377 2887
8 B757-200 188 449 984 985 2301
9 B727-200 148 427 688 1249 2247
10 MD-80 142 416 667 882 1861
11 B737-300 131 413 605 732 1826
12 DC-9-50 122 378 685 848 1830
13 B727-100 115 422 626 1104 2031
14 B737-100 112 388 440 806 1772
15 F-100 103 360 384 631 1456
16 DC-9-30 102 377 421 804 1778
17 DC-9-10 78 376 394 764 1588
问题二
如果航空公司目前承担表2中的运输计划，制定满足旅客需求（方便快捷）同时又节约成本的最佳飞行方案（即在每条航线上布置何种客机、布置多少）。
表 2 某公司承担的运输任务
航线 平均旅客人数 飞行距离（miles）
1 350 2900
2 1050 1200
3 205 900
4 500 620
5 400 400
拥有客机型号及数量 DC-10(1架),B747-100(1架), A300 B4(2架), B767-300(2架), B757-200(1架), MD-80(2架), DC-9-30(3架), B727-100(3架)
问题三
整体比较波音公司（B型号）和麦道公司(MD和DC型号)生产的客机的性能。如果航空公司需要新买进两架客机以扩充运输能力并提高旅客的满意程度，应该选择何种客机，说明理由。
二、符号约定
xj : 表示飞机性能指标变量(j=1,2,…,n)
X : 表示n个性能指标组成的单列矩阵 X=[x1,x2…,xn]T
Z : 表示飞机性能综合指标函数 Z（x）＝(x1,x2…,xn)
Tij : 表示各性能指标标准化后无量纲、正向可加的标准数据（其数据越大越好）
Mj : 表示第i种型号飞机中第j项性能指标的最大值
mj : 表示第i种型号飞机中第j项性能指标的最小值
Zi : 表示第i种型号飞机性能的综合指标
w*j: 表示性能指标变量xj的权重
rij: 表示第i种型号飞机第j个性能指标的标准化数据占此型号飞机所有性能指标的标准化数据的比重
Sj: 表示各性能指标的熵值
Vi: 表示第i型号飞机的航速
li: 表示第i型号飞机的飞行距离
nij: 表示第j条航线是否布置第i号飞机；布置时nij=1,否则nij=0
lj*: 表示第j条航线的飞行距离
三、问题假设
飞机匀速直线飞行；
飞机在中途不停留、不加油，旅客无转机；
不考虑天气等人为或突发事件对飞机起飞的影响；
在执行任务时，一架飞机只在一条航线上飞行一次；
飞机为增加安全性，每架飞机旅客数不超其最大载客量；
不考虑飞行员技术对燃料消耗和操作费用的影响；
飞机的性能仅受题目所给五项指标的影响;
8. 公司经济实力雄厚，有闲置飞机的承受能力;
9. 购买飞机时，不考虑航空公司对价格的承受能力;
四、问题分析
问题一：对于17架不同飞机，给出了座位数、航速等五项指标，要求对其进行综合性能的评价，考虑到五项指标优劣相互交错，只考虑某一项指标显然不妥。故此我们采用线性加权法，通过一套量化的评价标准来对其进行描述。
问题二：给出15架客机，要求对5条航线进行飞机布置，制定出满足旅客需求（方便快捷）同时又节约成本的最佳飞行方案，以执行运输计划。其中，方便可理解为机票不紧张，快捷指中途不停留，飞行时间短。节约成本就是要最大限度地降低燃料的消耗和操作费用的支出。因此，航线的制定要考虑到飞机最大航程的刚性约束，又要想到每条航线上平均旅客人数的软性约束，同时，为了保证航空公司的经济效益，必须考虑燃料消耗和操作费用对决策的影响。
问题三：要求对波音和麦道公司所生产的客机性能进行整体评价，并选取两架合适的飞机来扩充公司的运输能力和提高旅客的满意程度。对于运输能力，即要最大限度的多输送旅客，又要提高飞机的座客率;对于旅客的满意程度，即要求飞机航速快，容易购得机票，同时，还要照顾到航空公司的经济利益。总之，对于飞机选型的评估，既要有飞机的技术性能，又要有经济性的综合评估。
五、模型的建立与求解
问题一
建模准备：
尽管飞机型号繁多，但航空公司对它的性能要求是一致的，即要求安全性高、方便快捷、成本最少。飞机的性能指标很多，包括有载客量、经济性指标，也有旅客满意程度等指标，这里我们只考虑飞机的最大航程、最大航速、耗油率、载客量和操作费用五个指标。由于客运机按其航程有短线和长线之分，故生产厂家之问的设计、制造水平存在一定差异，使得各自生产出的机型的性能也不尽相同。若某机型的各项性能指标都相应地高于其他机型，则该机型的性能也必然好于其他机型。然而，实际情况往往是不同机型的性能指标优劣相互交错，很难用某单项性能指标来评价各机型的性能好坏［1］。因此，如何正确评价飞机性能的好坏需要一个完整的评价体系，我们从这一实际情况出发，利用线性加权方法将飞机的诸多性能指标综合为一个量化指标，以此来评价不同机型性能的好坏。
模型的建立：
1．综合评价数学模型
1.1.综合指标函数
设：飞机性能指标变量为xj( j=1，2，. ，n),X=[x1,x2,…,xn]T ,则飞机性能综合指标函数为 (1)
式中代表各性能指标变量组成的单列矩阵。显然，正确评价不同机型性能的好坏，就化为求解各机型的Z(X )值，Z(X )愈大，则性能就愈好。
1.2.性能指标数据的标准化（程序见附录附件1）
在飞机性能指标中，由于既有极大型指标(指标越大越好)，也有极小型指标(指标越小越好)且各指标的单位也不统一，因此，要计算飞机综合性能指标，就必须将性能指标标准化，即将单位不统一的各性能指标转化为无量纲、正向可加(转化的数据越大越好)的标准数据。
设：现有i种不同飞机机型，则某机型性能指标的标准化公式为
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