浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法
摘 要：构造辅助函数法是高等数学中解决问题的一种重要方法，在解决实际问题中有着广泛的应用，通过研究微积分学中辅助函数的构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论。尤其关于定积分不等式的证明在近几年的研究生数学考试中又频繁出现。借助适当的辅助函数来证明定积分不等式是一种非常重要且行之有效的方法。本文对某些定积分不等式中辅助函数的构造方法简单探讨。
关键词：定积分不等式;构造;辅助函数;变限法
当某些数学问题使用通常办法去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式――构造辅助函数。辅助函数构造法是高等数学中一个重要的思想方法，在高等数学中广泛应用。构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。可以解决高等数学中众多难题，尤其是在微积分证明题中应用颇广，可达到事半功倍的效果。特别是定积分不等式的证明，往往需要借助恰当的辅助函数才能顺利完成，然而，对基础一般的学生来说，构造恰当的辅助函数是相当有难度的。笔者在教学中进行探索，找到一些可行的方法，在此与广大读者进行交流。
一、构造辅助函数的原则
辅助函数的构造是有一定规律的。当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的`特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路。
二、构造辅助函数方法探讨
1.仅告知被积函数连续的命题的证法
一般来说，这类命题的证明要做辅助函数(或者说用辅助函数法更简便)。
在定积分不等式中，辅助函数φ(x)的构造方法是将定积分不等式中，积分上限(或下限)及相同字母换成x，移项使不等式一端为 0，则另一端即为所设的辅助函数φ(x)。
这类命题的证明思路：
(1)做辅助函数φ(x);
(2)求φ(x)的导数φ'(x)，并判别φ(x)的单调性;
(3)求φ(x)在积分区间[a，b]的端点值φ(a)，φ(b)，其中必有一个值为“0”，由第2条思路可推出φ(b)>φ(a)(或φ(b)<φ(a))，从而得出命题的证明。
2.已知被积函数f(x)一阶可导，又至少一个端点的函数值为0(f(a)=0或f(b)=0)的命题的证法
(1)证题思路之一。①写出含这个端点的拉格朗日中值定理：f(x)=f (x)-f(a)=(x-a)f '(ξ)，(f(a)=
0)或f(x)=f(x)-f(b)=(x-b)f '(ξ)，(f(b)=0)。②再根据题意进行不等式的放缩。③用定积分的比较定理、估值定理或函数的绝对值不等式等定积分性质作分析处理。
例1，设f(x)在[a，b]上可导，且f '(x)≤M，f(a)=0，证明
∫ f(x)dx≤―(b-a)2
证明：由题设对任意的x∈[a，b]，
可知f(x)在[a，b]上满足拉氏微分中值定理，于是有：
f(x)=f(x)-f(a)=f '(ξ) (x-a)，ξ∈(a，x)
∵f(x)≤M，∴f(x)≤M(x-a)，
由定积分比较定理，得出：
∫ f(x)dx≤∫M(x-a)dx=―
(b-a)2
(2)证明思路之二。①写出如下等式：
f(x)=f(x)-f(a)=∫ f'(t)dt(当f(a)=0时)
或f(x)-f(ξ)=∫ f'(t)dt
②利用定积分比较定理、估值定理或绝对值不等式进行分析处理。
3.已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号的命题的证法
证明思路：直接写出f(x)的泰勒展开式(证明定积分等式是将辅助函数F(x)=∫ f'(t)dt展成泰勒公式)，然后根据题意对展开式进行放缩。
三、结束语
辅助函数的构造在高等数学中一直占有重要地位，尤其是在微积分学中。辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具，对它的研究从没有中断过，很多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究，也取得了很多学术成果。本文从构造辅助函数的基本原则入手，总结了几种辅助函数的构造方法，同时也体现了构造辅助函数解决问题对培养学生创新思维的重要作用。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]陈 静，王来生，周志坚.浅析一元微积分学中的构造辅助函数方法[J].高等数学研究，2006(09)：16―18.
[3]丁 凯.微分中值定理在辅助函数构造中的应用初探[J].魅力中国，2010(10).
[4]同济大学应用数学系主编.高等数学(上册)[M].北京：高等教育出版社，2002.
[5]赵志云.微分中值定理教学的几点思考[J].阴山学刊(自然科学报)，1998(02)：72―73.
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