风沙起动的非线性探究
1 前言
风蚀是产生风沙危害的首要环节，风蚀及土地沙漠化是干旱、半干旱地区的主要环境问题之一。地表颗粒在风力作用下脱离地表开始运动称为风沙颗粒的起动，是产生风沙运动和沙尘暴的首要环节，标志着地表风蚀的开始。因此风沙起动是风沙运动研究的首要问题，沙粒起跳机制和起动风速又是风沙起动研究的关键问题。所以沙粒起跳机制和起动风速引起了国内外学者的热切关注，并取得了大量的成果。
最初从理论上探讨风沙问题，是以Bagnold创立的“风沙物理学”为标志。在其经典之作《风沙和荒漠沙丘物理学》一书中，Bagnold指出沙粒有三种运动方式：蠕移、跃移和悬移；风沙起动有两种方式：流体起动和冲击起动。后来，许多学者对颗粒运动的受力机制的研究进行了大量工作，例如：Bagnold、Chepil、Hiest and Nichola、Bisal and Nielsen、Dong et al、Hudson、Lyles and Krauss、Ford、Iversen、Kawamura等对沙粒在风载作用下的起跃机制提出了不同的模式和假设，其学说大致有两类共8种学说，即以接触力为主的跃起学说：斜面飞升说、冲击起动说、振动起动说；以非接触力为主的跃起学说：
升力起动说、压差起动说、湍流起动说、负压起动说和涡旋起动说。国内学者如吴正和刘贤万、贺大良和刘大有、董飞等、董治宝等人对沙粒起动假说进行了分析比较。
目前上述学者只是在对沙粒运动的片断观测的基础上，根据物理学的基本理论对沙粒的起跃机制进行推断后提出的假说，由于很难对沙粒脱离地面瞬间的运动进行观测，所以这些假说没有得到证实，因此对于起跃沙粒的起动机制问题我们很难形成统一的认识。
沙粒的临界起动摩阻风速是风沙起动的定量表征，是风沙运动及其土壤风蚀研究中倍受关注的基本物理量。为了估算颗粒起动所需要的临界起动摩阻风速，不同的研究者用不同的方法基于不同的平衡条件，提出了不同的颗粒起动平衡模型。Shields在不考虑粘滞力的情况下，建立了无粘滞均匀沙粒的起动拖曳力公式；Bagnold通过分析单颗沙粒受力力矩平衡，得到了经典的Bagnold起动方程；Chepil考虑气流脉动得到了反映气流的脉动强度的临界起动摩阻风速公式；Sagan和Bagnold认为细沙粒比较难起动，应该用颗粒间的粘滞力来解释。Iversen和White的风洞实验都证实，决定细颗粒起动的阻力主要是粘滞力。
Fletcher通过量纲分析，进行量纲组合得到关系式，并根据细煤粉等起动风速风洞实验结果确定关系式常数，得到了起动模型；Phillips认为，对于较粗的颗粒，重力起主导作用，而对于较细的颗粒，粘滞力则起主导作用。他将颗粒起动的力学平衡模型分为大颗粒型、中间型、小颗粒型和非现实型，并建立了起动拖曳力与颗粒粒径的关系。Shao and Lu通过对单颗沙粒受力分析（重力，拖曳力，上升力，粘滞力）得到既适用于大、中粒径，又适用于小粒径的起动模型。董治宝指出颗粒所受的力可归纳为四大类，即气流产生的拖曳力和升力，颗粒重力和颗粒之间的作用力。并对前人经典的起动公式进行了归纳总结。
目前临界起动摩阻风速模型都是由起跃沙粒受力机制模型得来，由于起跃沙粒的起动机制问题很难形成统一的认识，所以上述的模型不但彼此也存在着差异，而且它们不具有普遍性，其应用范围具有严重的局限性。这些模型往往包含了较多的简化、假设以及有待于通过实验测定的系数。它们仅仅是在一些假设情况下对实验结果的拟合，并没有严格的数学理论推导过程。因此本文认为造成这种情况的根本原因是它们的建立都缺乏完善数学理论基础，所以在研究风沙起动时，我们应该充分考虑模型建立的数学理论基础，只有这样，我们才能更好的解决风沙起动问题。硕士毕业论文格式
2 本文研究内容
近年来， 随着非线性科学的发展， 非线性科学应用在各个学科领域，其中非线性科学中的突变理论就被应用到了两相流的另一分支——河流泥沙动力学的研究中。王协康等应用非线性科学中的突变理论证明了泥沙起动属于尖点突变类型。杨具瑞等建立了泥沙起动尖点突变模型和泥沙输沙率的尖点突变模型。何文社等又建立了一个泥沙起动的尖点突变模型。
因此，本文把突变理论应用到风沙研究当中，利用表示风沙运动中客观存在的规律的数据，把表征沙粒特性和风场基本物理量与表征风沙运动的物理量建立直接的函数关系，建立风沙起动的突变模型，解决前文提到的问题，为风沙运动的研究探索了一种新的方法。
3 突变理论简介
客观世界存在着两种基本不同的变化方式：一种是光滑的、连续的不断的变化，在数学上早以成功的运用微积分的方法得到了圆满地解决，我们可以说经典的微积分是连续变化的数学模型；另一种是不连续的飞跃，它都是一些事物从性质的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式的不连续变化，都包含着突然变化的瞬时过程。我们把这种变化称之为“突变”，现在用非线性理论中的突变理论来研究这种变化。
突变理论的数学基础分别为：奇点理论、平衡曲面和分歧点集和拓扑学。
发生在三维空间和一维时间的四个因子控制下的初等突变，概括起来只有七种性质不同的基本类型。这七种类型的初等突变，按其几何形状分别被称为折迭型突变、尖点型突变、燕尾型突变、蝴蝶型突变、双曲型脐点、椭圆型脐点、抛物型脐点。事实上大部分问题中最常使用的还仅仅是七种当中的第二、三种。当控制变量有两个时，最简单的突变模型是尖点型突变，尖点型突变的应用最广。尖点突变具有五个典型的性质：突跳的出现；滞后；发散；双模型；不可达性。一个系统中观察到的突变现象，具有上述特征的一部分或全部，就可以试用尖点突变模型拟合观察的结果。
4 风沙起动机理的非线性研究
风沙运动的出现是沙粒（单个和整体）由静止状态到运动状态的变化，是量变到质变的过程，是不连续的变化，因此沙粒起动可以用突变理论来研究。同时风沙运动主要由反映风力特征和沙粒特征两个方面的参数决定。Shields曾提出了用θ 表示泥沙起动的临界值，称作希尔兹判据，董治宝把它作为风沙起动判据。故当大于这个值时，风沙就起动；反之，不动。这符合突跳的出现这一特性。因此风沙起动有可能为尖点突变。
5 尖点突变模型基本方程的建立
我们由突变理论可以得到，O 点代表静止状态，Q 点代表运动状态。只要通过突变理论和坐标变换把O 点和Q 点之间建立函数关系，我们便可以通过几个表征风沙运动的基本变量把静止状态和运动状态联系起来。
6 风沙起动的尖点突变模型
影响风沙起动的因素较多，主要有气流和风沙这两个因素。气流影响反映与气流性质及脉动有关的影响因素，风沙影响反映床沙组成、床沙颗粒在床面的相对位置和风沙颗粒大小的方面的影响。因此，控制变量分别为颗粒雷诺数Re（反映气流方面的影响）和等效粒径D（反映风沙方面的影响），状态变量为希尔兹判据θ 。
计算结果（红线）与Greeley et at[，Chepil，Zingg的实验值（黑线）比较，显然与风沙运动实际情况不符。原因是所描述的曲面空间为尖点突变模型的定性描述曲面空间，其大小与实际风沙运动的曲面空间是拓扑等价的，空间大小不同。要定量确定风沙运动曲面函数，需进行拓扑变换。
我们把计算值与Shao and Lu、Chepil、Bagnold公式以及Greeley et at，Chepil，Zingg的实验值比较，可以看出，本文结果更符合实验值。
实验数据综合了前人的实验数据具有普遍规律，故计算值就也具有普遍性。
本文的临界起动风速随风沙直径的变化计算值与Shao and Lu、Chepil、Bagnold公式以及Greeley and Iversen[32]的实验值比较。可以看出，本文结果更符合实验值。该模型是由数学推导得到，因此它具有一定的数学理论基础，能更好的描述风沙运动。
7 结论
风沙起动是地表沙粒在受到风作用下所受的各种力的综合结果，然而目前风沙起跃机制却没有统一清楚的认识，表征风沙起动的临界起动摩阻风速的计算模型存在了较多的简化、假设以及有待于通过实验测定的系数，仅仅是在一些假设情况下对实验结果的拟合，并没有严格的数学理论推导过程。同时突变理论的一个显著优点是，即使在不知道系统有哪些微分方程，更不用说如何解释这些微分方程的条件下，仅在少数几个假设的基础上，用少数几个控制变量便可预测系统的诸多定性或定量性态。因此本文应用一种新的方法研究风沙起动：
不去考察沙粒起动的原因，而是用表征风场和沙粒特性的基本变量描述风沙起动这个现象。
所以本文应用突变理论和数学知识，通过准确客观符合一般规律的实验数据把一些已知的基本物理量（表征沙粒和风的基本物理量）与未知的物理量（表征风沙运动的基本物理量）建立了符合风沙运动中的客观存在的函数关系：建立粒径与临界起动摩阻风速的函数关系。
（1）本文首先通过对单个沙粒的受力分析，进而建立了沙床沙粒起动条件判别公式，从而证明了风沙起动是尖点型突变；
（2）利用突变理论和数学的知识，建立尖点突变的基本方程，从而把表征沙粒特性和风场的基本物理量与表征风沙运动的基本物理量建立了直接函数关系；
（3）本文把希尔兹判据作为状态变量，等效粒径和颗粒雷诺数作为控制变量，带入尖点突变的基本方程，并通过拓扑变换，得到了风沙起动的尖点突变模型，从而得到了风沙起动的临界起动摩阻风速。该模型是应用数学理论建立起来的，因此它具有一定的数学理论基础。
同时通过准确客观符合一般规律的实验数据把表征沙粒和风的基本物理量与表征风沙运动的基本物理量建立了符合风沙运动中的客观存在的函数关系，而不用考虑起动的中间过程，这样就避免了因风沙起动机制不清而引起的误差。
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