函数概念教学的现状分析
函数概念教学的现状分析
2.1教学案例及简要分析
课例1.函数的概念学习（初中）
授课地点:湖南省涟源巿某中学初三(2)班。
教学目标:1.了解常量变量、自变量和函数的意义,并能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数；
2.会发现和提出函数的实例,能写出一些简单函数的解析式。
教学过程:
（一）常量与变量概念
1.引入
例1.一辆汽车以30千米/小时的速度行驶,行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)的关系怎样呢?(列出关系式s=30t)其中哪些量的数值可以保持不变,哪些量可以取不同的值?
2.练习
长方形的面积 ,若 ,则 、 是____量, 是____量；
若 ,则 、 是____量, 是¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬____量。
（二）函数
1．创设情境引入概念
例1． ；
例2．反映一天气温随时间变化的气温图。（在教科书的P72）。
a.抽象概括形成概念
通过对二个实例的分析得出在变化过程中两个变量的对应关系，引入函数的定义。
b.深入分析理解概念
分析定义中的关键词：变化过程，两个变量，唯一和对应。
c.讨论练习巩固概念
例3：圆的面积S（ ）与它的半径R（ ）之间的关系 ，判断S和R是不是函数关系？如果是函数，那么指出式中的自变量与函数。
例4：用总长60米的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S( )与一边长 之间的关系式，并指出式中的常量与变量、自变量与函数。练习：（略）
简要分析: 函数概念比较抽象，学生不容易理解，这是教学的难点。教师在设计时注意到遵循学生认识事物的规律，从感性到理性，从具体到抽象。首先创设情境，从实例引入概念。然后通过二个实例的比较，抽象概括得出函数的概念。再进一步深入分析函数的定义，让学生理解函数的概念，最后通过反复练习，巩固函数的概念。从学生学习心理角度分析，学生主要经历了一个概念的形成的过程，即从具体事例或具体概念中抽象出了上位概念的一些关键特征，如变量是可以任意赋值的，以及可以不断变化数值的量，而常量则是无法变化数值的量，整个的心理过程是分化、抽象、概括。不足之处在于教师的观念没有革新，先入为主。教师有意识创设了问题情境引入概念，但创设的情境不能从内心引起同学的兴趣。通过二个实例的分析函数内涵的整个过程，教师都在替学生思考，学生自己没有经历一个“做”的过程，全堂课学生主动建构过程太少，没有变式训练，全都是同一个类型的例题练习。此外在初中学习阶段除了学习连续函数以外，也接触到了一些离散函数。然而课例都是连续函数，没有为后续高中学习离散的函数做充分准备，没有一个以函数为轴线的整体教学设计。
课例2：函数的定义（高中）
授课时间:2004年11月1日
授课地点:湖南省娄底市某中学高一某班
教学过程:（一）启发引入阶段
师(老师):我们在初中已经学习了函数概念,请同学们回忆。
生(学生):回忆不起来,保持沉默。
师:我们脑海里应有印象,只是叙述不清。我们并且知道函数概念比较抽象,有两个变量。尽管函数抽象难懂,但却是一个非常重要的概念,贯穿了高中数学学习以及大学数学学习。我们不得不重视函数概念的学习。
师、生:共同回顾了初中的函数定义。
师：我们在初中已经学习了函数定义，并且学习了正比例函数，反比例函数、一次函数、二次函数等具体的函数，那么为什么今天我们还要继续讨论函数呢？请同学们看下面两个问题：问题1： 是函数吗？
问题2： 与 是同一个函数吗？
生：一副困惑的表情。
师：显然，仅用我们初中学习过的知识是很难解决这两个问题的，因此我们需要从新的高度来认识函数概念。
（二）传授新课阶段
师：下面我们看非空数集 、 的元素之间的一些对应关系，（ 、 为有限集）
师：观察集合A、B有什么对应关系？
师、生（共同讨论得出）：
1． 对于集合A中的任意一个数，集合B中都有唯一的实数与之对应；
2．集合A到集合B的对应法则： 分别为“ 乘2”、“求平方”、“求倒数”；
3．对应的形式“一对一”、“多对一”。
师：从上可以看到，函数实际上就是从自变量 的集合到函数值 的集合的一种对应关系。
师生：与初中函数定义比较归纳得出函数定义2。
（板书）设A,B是非空的数集，若按某个确定的对应关系 ，使得对集合A中的任意一个数x，在集合 B中都有唯一确定数 和它对应，那么称 ：A B为从集合A 到集合B的一个函数 ，其中A的取值范围称函数的定义域； 称函数的值域。
师：进一步分析这个概念，定义中蕴含三个重要的因素：
1． 对应法则，又可理解为操作方法，使A B产生关系；
2． 定义域， 能够取值的一切值，（强调具体问题中要以实际背景为准）；
3． 值域，与 的值相对应的值的范围。
师生共同讨论了：一次函数： 的定义域为R，值域为R，对应法则： 的 倍的值与 的和；
反比例函数： 的定义域为 ，值域为 ，对应法则 ： 的倒数的 倍；
二次函数： 的定义域为R，值域得分情况讨论：
当 时，值域为 ；当 时，值域为 。
对应法则： 的平方的 倍与 的 倍与 的和。
师：注对应法则不一定都能写出，可通过其它方式表述如图像、表格等。
师：用集合与对应的语言叙述函数概念后，就容易回答开始留下的问题了，下面请同学回答。
生1：是函数， 因为对于实数集R中的任何一个数 ，按对应法则“函数值总是1”，在R中 都有唯一确定的值与它对应，所以 是 的函数。
生2： 与 不是同一个函数，因为尽管它们对应法则一样，但 的定义域是R，而 的定义域为
师：回答得很好！
师：为了更好巩固定义，通过下面例题进行进一步的研究。
例1:求下列函数的定义域。
(1) ； (2) ； (3) 。
解：（1）要使函数有意义， ，即 ，函数的定义域 。
（2）要使 有意义， 0，即 ，故定义域为 。
（3）要使函数有意义， 要同时满足，得定义域为 。