利用两平面垂直的条件解题的案例分析
一、直接利用题设的两平面垂直的条件
例1 如图1，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°.
(Ⅰ)若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积.
(Ⅱ)若二面角C-AB-D的大小为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值.
解 (Ⅰ)设E为AC的中点，由于AD=CD，所以DE⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，可知DE⊥平面ABC，即DE是四面体ABCD的面ABC上的高，且DE =AD·sin 30°=1，AE= AD·cos 30°= .
在Rt△ABC中，由于AC=2AE=2 ，AB=2BC，所以由勾股定理知BC= ，AB= .
故V四面体ABCD = ·S△ABC·DE= × × × ×1= .
(Ⅱ)设G，H分别为边CD，BD的中点，则EG∥AD，GH∥BC，从而∠EGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.
设F为边AB的中点，则EF∥BC.由AB⊥BC，可知EF⊥AB.由(Ⅰ)可知DE⊥平面ABC，故由三垂线定理知DF⊥AB.所以∠DFE为二面角C-AB-D的平面角.由题设可知∠DFE=60°.
设AD=a，则DE= AD·sin∠CAD= .
在Rt△DEF中，EF= = = ，从而GH= BC=EF= .
由于Rt△ADF ≌Rt△BDF，所以BD=AD=a.从而在Rt△BDE中，EH= BD = .又EG= AD = ，从而在△EGH中，EG=EH，于是由余弦定理得cos∠EGH= = = .
故异面直线AD与BC所成角的余弦值为 .
小结 面对两个相互垂直的平面，我们可以联想其性质定理，恰当作出平面的垂线，这样通常能够简化解题过程.
二、活用隐含的两平面垂直的条件
例2 如图2，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.
(Ⅰ)当CF =1时，求证:EF⊥A1C.
(Ⅱ)设二面角C-AF-E的大小为θ，求tan θ的最小值.
(Ⅰ)证明:过点E作EN⊥AC于点N，连接EF，NF，AC1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，且EN?奂平面ABC，所以EN⊥平面ACC1A1，NF为EF在平面ACC1A1内的射影.
在Rt△CNE中，CN=CE·cos 60°=1.由 = = ，得NF∥AC1.又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C.
由三垂线定理可知EF⊥A1C.
(Ⅱ)解:tan θ的最小值为 ，此时点F与点C1重合.(解答过程省略)
小结 本题的题设中给定的是正三棱柱，隐含三棱柱的侧面与底面相互垂直的条件，于是得到平面ACC1A1⊥平面ABC.挖掘隐含的两平面垂直的'条件对顺利完成本题解答，起到至关重要的作用.
三、巧用待证的两平面垂直的条件
例3 如图3，在圆锥PO中，已知PO= ，⊙O的直径AB=2，C是 的中点，D为AC的中点.
(Ⅰ)证明:平面POD ⊥平面PAC.
(Ⅱ)求二面角B-PA-C的余弦值.
(Ⅰ)证明:由于PO⊥平面ABC，AC?奂平面ABC，所以PO⊥AC.又BC⊥AC，且D为AC的中点，有OD∥BC且OD= BC，可知OD⊥AC.于是有AC⊥平面POD.由于AC?奂平面PAC，所以平面POD ⊥平面PAC.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知，平面POD ⊥平面PAC，且平面POD ∩平面PAC=PD.过点O作OE⊥PD于点E，则OE⊥平面PAC，从而OE⊥PA.过点E作EF⊥PA于点F，则PA⊥平面OEF，故PA⊥OF.于是可知∠OFE为二面角B-PA-C的平面角.
在Rt△ODA中，OD=OA·sin 45°= .
在Rt△POD中，OE= = .
在Rt△POA中，OF= = .
在Rt△OEF中，sin∠OFE= = .
于是可得cos∠OFE= ，即二面角B-PA-C的余弦值为 .
小结 本题通过巧用待证的两平面垂直的条件，找到二面角B-PA-C的平面角.本题给出第(Ⅰ)问的目的是降低第(Ⅱ)问的难度.
四、妙用探寻到的两平面垂直的条件
例4 如图4，四棱锥S-ABCD中， AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.
(Ⅰ)证明:SD⊥平面SAB.
(Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明:取AB的中点为E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，从而有DE=BC=2.连接CE，由题设条件可知SE⊥AB，且SE= .又SD=1，故SE2+SD2=DE2.所以SD⊥SE.
由SE⊥AB，DE⊥AB，可知AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.又AB∩SE=E，所以SD⊥平面SAB.
(Ⅱ)解:由AB⊥平面SDE，可知平面ABCD⊥平面SDE，且交线为DE.过点S作SF⊥DE，交DE于点F，则SF⊥平面ABCD，且SF= = .
过点F作FG⊥BC交BC于点G，则AB∥FG，FG=DC=1.
连接SG，由BC⊥平面SFG，知平面SBC⊥平面SFG，且交线为SG.过点F作FH⊥SG，交SG于点H，则FH⊥平面SBC.在Rt△FGH中，FH= = ，则sin∠FGH= = .
所以，AB与平面SBC所成角的正弦值为 .
小结 第(Ⅱ)问在探寻到两平面间的垂直关系后，运用两平面垂直的性质定理，得到线面垂直和线线垂直的关系，从而使问题得到顺利解答.
【利用两平面垂直的条件解题的案例分析】相关文章：
海尔物流的案例分析两篇06-02
两则成功的项目管理案例分析06-05
成功领导者的分析案例两则06-03
项目管理师案例分析难点与解题技巧分析06-12
平面模特的要求与条件12-13
消防工程师《案例分析》考点：企业平面布局10-05
项目管理师案例分析难点与解题技巧06-14
游戏景观的案例分析05-29
销售的技巧案例分析09-22
求职陷阱的案例分析07-02