解读高中数学中的抽象函数
抽象函数问题是高中函数中的一类综合性比较强的问题，学生往往感到无从下手。解决这类问题要求学生抽象思维能力、综合运用数学知识的能力较强，但是，教师只要引导学生准确掌握所学基本初等函数的图象和性质，分清是哪一类函数的抽象，可以优化思路，使问题难度降低，从而得以解决。以下是小编整理的解读高中数学中的抽象函数，欢迎阅读。
解读高中数学中的抽象函数
下面举例说明:
形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m为常数)
思路:看作 一次函数的抽象，联想一次函数的图象及性质。特例:m=0时，联想过原点的直线。
例1.函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)证明:设x10，
∵x>0时，f(x)>1
∴f(x2-x1)>1，
∵f(x2)-f(x1)=f(x1+x2-x1)-f(x1)
=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0
(2) ∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5，∴f(2)=3.
又f(x)是R上的增函数，
∴f(3m2-m-2)<3 f(3m2-m-2)
∴f(x)是R上的增函数.∴f(3m2-m-2)<3
f(3m2-m-2)
3m2-m-2<2 -1
解得不等式解集为{m|-1
点评 1.回归定义，充分运用已知条件:x>0时，f(x)>0 △x=x2-x1>0，f(x2-x1)>1
2.等价转化思想:运用函数的单调性，去掉函数符号，转化为解关于m的不等式。
思路:联想幂的运算性质，可看作指数函数的抽象，结合指数函数的图象和性质进行解题。
抽象函数问题，需要综合运用函数的奇偶性，单调性，周期性，对称性等性质，应用分析，逻辑推理，联想类比等数学思想方法。
常见题型有:
①求抽象函数的某一函数值:根据函数结构特征，用赋值法。
②判(证)抽象函数的单调性:类比所学具体函数，充分运用已知条件，对变量合理赋值。
③解关于抽象函数的不等式:一看定义域，一看单调性。
只要掌握相应的解题策略，问题便会化难为易，迎刃而解。
抽象函数解析
一、求抽象函数的定义域
1. 若已知函数f [g(x)]的定义域为x∈(a，b)，求函数f(x)。
解决这类问题的方法是：利用a 例1. 已知函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，求y=f(x)的定义域。
解：因为函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，所以-2≤x≤3
所以-1≤x+1≤4， 因此y=f(x)的定义域是[-1，4]
2. 若已知函数f(x)的定义域为x∈(a，b)，求f [g(x)]函数的定义域。
解决这类问题的方法是：a 例2. 已知函数f(x)的定义域为(0，1]，求函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 解：因为函数f(x)的定义域为(0，1]
所以0 由于- 所以不等式组(Ⅰ)的解为-a 即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-
二、抽象函数的周期性和奇偶性
1. 抽象函数的周期性
例3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2)，且当x∈(-1，1]时，f(x)=x2+2x，
求当x∈(3，5]时，f(x)的解析式。
解：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是以4为周期的周期函数
设x∈(3，5]时，则-1 ∴f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3 评注：若对函数f(x)定义域内的任意，恒有下列条件之一成立(以下式子分母不为零，a≠0)
①f(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-
④f(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)
则函数f(x)是以2a为周期的周期函数①
2. 抽象函数的奇偶性
奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。
例4. 已知定义在上的函数f(x)，对于任意x，y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0
(1)求f(0)的值
(2)判断函数f(x)的奇偶性
解：(1)令x=y=0，则有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1
(2)令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)这说明函数f(x)是偶函数。
三、抽象函数图像的对称变换
结论1：①函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称;
②函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于轴对称;
③函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点轴对称;
④函数y=f-1(x)与函数y=f(x)的图像关于直线y=x轴对称。
结论2：若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立，则函数y=f(x)的图像关于直线x= 对称。
结论3：函数y=f(x+a)与y=f(-x+b)的图像关于直线x=对称(a，b为常数)。
例5. 设函数y=f(x)的定义域为，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于( )
A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称
C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称
错解：因为函数y=f(x)的定义域为R，且f(x-1)=f(1-x)，所以函数y=f(x)的图像关于直线x=0对称，故选择B。
错解分析：错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈，即将两个不同函数图像的对称问题，错误地当成一个函数的图像对称问题，从而导致错误。
正解：因为函数y=f(x)的定义域为R，而y=f(x-1)的图像是y=f(x)图像向右平移1个单位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的图像是y=f(-x)图像向右平移1个单位而得到的，又因为f(x)与f(-x)的图像关于y轴对称，因此函数y=f(x-1)与y=f(1-x的图像关于直线x=1对称，故应该选择D。
四、求抽象函数的解析式
解决抽象函数解析式的问题，关键是构造出函数f(x)。通常采取赋值法，赋予恰当的数值或代数式后，通过合理运算推理，最后得出结论。
例6. 已知f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求函数f(x)的解析式。
解：令a=0，则 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1+b(b-1)=b2-b+1
再令-b=x，即得f(x)=x2+x+1
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