数学方法在高中物理电磁学的应用
数学方法在高中物理电磁学的应用【1】
【摘 要】数学方法是科学方法中重要的一种，它不仅被物理学广泛应用，而且也成为其它众多自然学科的重要方法。
高中物理电磁学内容多、难度大，且在高考理综考试中所占比重较大，这些内容涉及到的试题经常要用到一定的数学知识，那么如果能够灵活运用这些数学方法来处理电磁学问题，将能起到事半功倍的效果。
本文就这个问题谈谈函数法、不等式法、图象法及几何法等在高中物理电磁学中的应用。
【关键词】数学方法;高中物理;电磁学
1.引言
国家高考物理科考试大纲明确提出考生应具备的第四种能力“应用数学处理物理问题的能力：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”，这里所要考查的就是要有灵活运用数学方法处理物理问题的能力。
所谓数学方法，就是在科学技术工作中，把客观事物的状态关系和过程用数学语言表达出来，进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预言的方法。
下面就以电磁学为例谈谈几种数学方法在高中物理电磁学中的应用。
2.函数法
在电磁学问题中，经常需要确定两个物理量间的变化所对应关系(包括极值问题)，这就需要利用函数思想来完成，同时函数也是进行物理推导判断的重要数学工具。
在高中物理电磁学中主要用到的是一次函数、一元二次函数和三角函数。
2.1一次函数的应用
在电磁学问题中用到的一次函数有形如y=ax或y=ax/(ax+b)a≠0，b≠0形式。
一次函数y=ax描述的是y与x之间呈线性关系，比如在静电场中讨论F与E、U与d、Q与U等两个量间的关系用的就是这种函数。
观察函数y=ax/(ax+b(a≠0，b≠0))不难发现，分子分母都有未知量x(自变量)，如果x增加(减小)，则分子、分母都同时增加(减小)，这样无法确定因变量y的变化情况。
但是如果把分子、分母都同时除以x，函数就变为y=a/(a+b/x)关系就非常明朗了，y随x的增大而增大，y随x的减小而减小。
这种一次函数在讨论闭合电路中路端电压随外电阻变化等类似问题中经常有用到。
例1：设一个闭合电路中，电源电动势为E，内阻为r，外电路为纯电阻电路电阻为R，路端电压为U外，试讨论当R发生变化时，U外如何变化?
分析与解：这类问题既可用闭合电路欧姆定律E=U外+Ir(间接法，较易，本文不做讨论)求解，也可用部分电路欧姆定律(直接法)求解。
如果用直接法如何讨论呢?根据部分电路欧姆定律有U外=IR①，又由闭合电路欧姆定律有I=E/(R+r)②，把②代入①有U外=ER/(R+r)，这就转化成了形如一次函数y=ax/(ax+b)，故U外=ER/(r+R)=E/(1+r/R)可见U外随R的增大而增大，随R的减小而减小。
因此当外电路断开即R→∞时，有U外=E，此为直接测量法测电源电动势的依据;当外电路短路时即R→0，故。
U外=0。
2.2一元二次函数的应用
在处理外电路为纯电阻电路中电源输出功率随外电路电阻变化规律以及讨论滑动变阻器分压接法电路中■或■示数变化情况等类似问题，可以把电阻这个动态变化物理量转化成二次函数y=ax2+bx+c形式，将这个函数进行配方整理有：y=a(x+b/2a)2-(4ac-b2)/4a，可见当x=-b/2a时，y有最值(4ac-b2)/4a。
当a>0时，y有最小值，当a<0时，y有最大值。
例2：如图1所示，电源电动势E=6V，内阻为r=1?萃，滑动变阻器R的总阻值为11?萃，固定电阻R0=3?萃，求当滑动变阻器从a到b过程中，■的读数范围。
分析与解：令■读数I，并设ap部分电阻为x，则pb部分电阻为11-x，根据闭合电路欧姆定律及并联电路的电流分配关系：I=6/(R并+11-x+r)×3/(x+3)=18/(-(x-6)2+72)
可见当x=0时，Imax=0.5A，x=6?萃时，Imax=0.25A，故■示数范围为从0.25A到0.5A连续变化
3.不等式法
不等式可用在半定量讨论、推断及求解极值问题，如在讨论等量同种电荷中垂线上场强大小变化、某些并联电路中■或■示数变化以及在两大小材料均相同的同种电荷接触后放回原处过程中库仑力大小变化问题中，如果条件满足均可以运用重要不等式a+b≥2■(a、b均为正数)或a+b+c≥33■讨论最值：当和有定值，则积有最大值;反之当积有定值，则和有最小值。
例3.如图3所示，已知R1=2?萃，R2=3?萃，滑动变阻器的最大值R3=5?萃，则当滑动片P从a滑到b过程中，电流表示数的最小值为多少?
分析与解：由闭合电路欧姆定律可知电流表示数有最小值时，外电路电阻有最大值，设ap部分电阻为x，则bp部分为5-x，1/R并=1/(2+x)+1/(3+(5-x))，化简可得R并=(2+x)(8-x)10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故当且仅当a=b即2+x=8-x亦即x=3?萃时ab≤(a+b)/4，故有(2+x)(8-x)≤(102/4)?萃=25?萃，所以■示数最小值Imin.=2A。
4.几何法
在处理静电场中某带电体受到库仑力、重力、拉力等三个共点力的动态平衡问题时，如果直接运用平衡条件结合力的分解(正交分解)处理该类问题，过程非常繁琐，这里可充分运用带电体(质点)所受力的矢量三角形与对应另一个由长度组成的纯标量三角形相似，这就是应用了平衡条件中相似三角形法，然后根据题目条件可在短时间内快速准确解决要讨论的问题。
例5：一根绝缘细线下拴一带电小球A，细线上的上端固定在天花板上，在悬点正下方某适当位置，固定另一带同种电荷小球B，A静止时，悬线与竖直方向成θ角，如图6所示。
现缓慢增加B的带电量使θ角逐渐增大，则有关A球所受力的变化，下列说法正确的是( )
A.悬线的拉力大小不变 B.悬线拉力逐渐增大
C.库仑力逐渐增大 D.库仑力大小可能不变
分析与解：设悬线长为L，如图7所示，挂在细线下端的小球在重力、细线拉力和电荷之间的库仑斥力这三个力的作用下处于平衡状态。
由平衡条件的相似三角形可知：△OAB～△ACD，即L/G=L/F=AB/F，可见细线的拉力T=G不变，而库仑力随着AB的增大而增大。
故本题正确答案为AC。
6.结论
数学方法在高中物理电磁学中应用广泛而且巧妙，本文主要描述了函数法、不等式法、图象法及几何法，但有时在解决某些复杂电磁学问题时可能要用到上述这些方法中的两种或两种以上，甚至还可能用到其它方法如极限法。
因此，在解题时可通过联想、数理结合、数形结合来灵活地选择合适的数学方法来解决电磁学问题，这将对提高解决电磁学问题的能力大有裨益。
【参考文献】
[1]郑表岳.《中学物理解题方法》.上海科技教育出版社，1992年9月
[2]薛金星.《中学教材全解―高二物理(上)》.陕西人民教育出版社，2003年5月第4版
[3]陈松，张安等.《名校学案―物理选修3-1》.福建教育出版社，2010年8月第4版
[4]廖伯琴等.《普通高中课程标准实验教科书―物理选修3-2》.山东科技出版社，2007年7月第3版
数学方法在高中物理中的应用【2】
我们研究数学在物理中的应用不仅是为了提高学生的成绩，更是为了提高学生利用数学知识处理实际问题的能力，随着新课程的深入，学科之间的贯穿不断加强，数学与物理的整合也日益紧密。
新的物理学科的考试说明要求学生加强应用数学知识处理问题的能力，如利用函数关系、不等式关系、判别式法求极植问题，将物理现象抽象转化为数学表达式求轨迹等。
如能适当、巧妙地运用数学知识解决物理问题，往往可以达到另辟奚径、曲径通幽的效果。
掌握科学的方法比掌握科学知识更重要。
在物理教学中，科学思维方法是学生获得知识，提高能力的桥和船，它能为学生的成功创造更多的机会和途径。
一、用数学方法定义物理概念，推导物理定律、原理
数学是定义物理概念表达物理规律的最简洁、最精确、最概括、最深刻的语言，许多物理概念和规律都要以数学形式(公式或图像)来表述，也只有利用了数学表述，才便于进一步运用它来分析、推理、论证，才能广泛地定量地说明问题和解决问题。
1.用数学的方法来定义物理概念，在此举例来说明。
在中学物理中常用到的比值定义法。
所谓比值定义法就是用两个基本的物理量的“比”来定义一个新的物理量的方法。
比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性，它不随定义所用的物理量的大小取舍而改变。
如：密度、压强、速度、加速度，功率、电场强度，电容等物理量的定义。
2.用数学知识来推导物理公式。
物理学中常常利用数学知识研究问题，以高中物理“直线运动”这一章为例，就要用极限概念和图像研究速度、加速度和位移;用代数法和三角法研究运动规律和轨迹;用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。
另外，物理学中常常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式，这样既可以使学生获得新知识，又可以帮助他们领会物理知识间的内在联系，加深理解。
二、用数学方法处理物理问题
在中学物理学习中常用的数学方法可以分为图像法、极值法、近似计算法、微元法等各类。
1.图像法
物理图像是一种非常形象的数字语言和工具，利用它可以很好地描述物理过程，反映物理概念和规律，推导和验证新的规律，物理图像不仅可以使抽象的概念形象化，还可以恰当地表示语言难以表达的内涵，用图像解物理问题，不但迅速、直观，还可以避免复杂的运算过程。
2.极值法
极值法是在物理模型的基础上借助数学手段和方法，从数学的极值法角度进行分析、归纳的数学处理方法。
物理极值问题的讨论中常用的极值法有：三角函数极值法，二次函数的极值法，一元二次方程的判别式法等。
3.微元法
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
如：用微元法推导匀变速直线运动位移与时间关系。
做匀变速直线运动的物体，其速度与时间图线下面四边形的面积可以表示其位移。
这一结论的得出就需要用微元法思想。
三、应用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意的一些问题
1.物理公式中运用数学知识时，一定要使学生弄清物理公式或图像所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题。
2.表达物理概念或规律的公式都有自己的适应条件，在运用数学解决物理问题时，一定要使学生弄清物理公式的适用条件和应用范围。
例如，真空中库仑定律的公式只适用于两个相对静止的点电荷。
由此可见，求得数学的解后，再从物理的角度进行讨论分析，把数学的解还原成符合实际的物理的解这一过程，是十分重要的，这也是解题过程中最容易疏漏的地方。
“它山之石，可以攻玉”。
在现阶段大力提倡学生综合能力的时代浪潮中，强调在物理教学中有机结合数学知识，能很好地培养学生理解、掌握和运用所学知识的能力。
也可将数学知识运用于物理教学作为现阶段各科知识大综合的演练平台，为提高学生的综合能力推波助澜。
数学方法在高中物理中的运用【3】
【关键词】数学方法 高中物理 物理规律 解题能力
物理学是应用数学方法最充分、最成功的一门学科，数学思想方法是解决物理问题的重要工具，在高中物理中时常存在数学方法的影子。
学生在解题的过程中，除面对物理知识的考查和理解外，可能也面临着数学方法、数学知识的考验，而有时数学方法的使用对问题的解决起到关键的作用。
本文就高中物理解题中用到的典型的数学方法进行归纳。
一、正余弦函数在高中物理中的应用
(2012安徽理综)图1是交流发电机模型示意图。
在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO′转动，由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO′转动的金属环相连接，金属环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路。
图2是线圈的主视图，导线ab和cd分别用他们的横截面积来表示。
已知ab长度为L1，bc长度为L2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动。
(只考虑单匝线圈)
1.线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t时刻整个线圈中的感应电动势e1的表达式;
2.线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置开始计时，如图3所示，试写出t时刻整个线圈中的感应电动势e2的表达式;
3.若线圈电阻为r，求线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热。
(其他电阻均不计)
【分析与解答】
1.(如图4)线圈abcd转动过程中，只有ab和cd切割磁感线，设ab、cd的转动速度为v，则v=ω。
在t时刻，导线ab和cd因为切割磁感线产生的感应电动势方向相同，大小均为E1=BL1v2。
由图象可知，v⊥=vsinωt。
整个线圈在t时刻产生的感应电动势为：e1=2E1=BL1L2ωsinωt。
2.当线圈由图2位置开始转动时，在t时刻线圈的感应电动势为e2=BL1L2ω
sin(ωt+φ0)。
3.由闭合电路的欧姆定律，得I=。
E为线圈中产生感应电动势的有效值，E==。
线圈转动一周在R上产生的焦耳热Q=I2RT，其中T=，所以Q=πRω()2。
【说明】本题考查了交流电流的产生和变化规律以及交流电路中热能的计算，主要运用到了数学里的正弦函数来处理物理问题。
不仅正弦交流电的电动势和电流瞬时值，机械振动的位移时间关系、机械波波动图象等，这些周期性的复杂的过程用正余弦函数表示却会变得非常简单明了。
二、不等式法在高中物理中的应用
例1：(2010高考理综)在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发。
沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。
设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节(取g=10 m/s2)。
求：
(1)运动员到达B点的速度与高度h的关系;
(2)运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大?对应的最大水平距离SBH为多少?
(3)若H=4m，L=5m，动摩擦因数μ=0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少?
【分析与解答】
【说明】很明显，在第二问中就用到了不等式求极值的方法，而第二步的结论又直接影响到了第三问的解答，所以数学方法的应用是本题的一个难点，也体现了数学方法的重要性。
例2：(2012广东理综，36)图5所示的装置中，小物块A、B质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因素为u，其余段光滑。
初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长;长为r的连杆位于图中虚线位置;A紧靠滑杆(A、B间距大于2r)。
随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆做水平运动，滑杆的速度―时间图象如图6所示。
A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞。
(1)求A脱离滑杆时的速度v0及A和B碰撞过程的机械能损失ΔE。
(2)如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点运动到停止所用的时间为t1，求ω的取值范围，及t1与ω的关系式。
(3)如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式(弹簧始终在弹性限度内)。
【分析解答】
【说明】本题是一道很典型物理问题与不等式结合的题目，主要在临界情况应用不等式极值。
不等式不仅在运动学题目中应用广泛，在电学题目中也占有很大的比重。
有时不等式不仅用于求解物理量的范围，还在分析物理的动力学过程中起着重要作用。
例3：在竖直面内圆周运动的临界问题分析。
物体在竖直面内做圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常分析两种模型――轻绳模型和轻杆模型，分析如下表所示：
【说明】由以上例子可见不等式不仅在求解范围极限这样的题型中用到，在一些临界情况的分析中不等式法更有得天独厚的优势，可见不等式与物理的结合能力也是学生分析问题时必不可少的。
三、极值法在高中物理中的应用
例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。
恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。
汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?
【分析与解答】
经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为s1=vt①
汽车做匀加速运动，其位移为s2=at2② 两车相距为：Δs=s1-s2=vt-at2=6t-t2③
因为上式是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故Δs有最大值。
当t=-==2s时④
Δs有最大值。
例2：如图7所示，底边恒定为b，当斜面与底边所成夹角为多大时，物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间最短?
【分析与解答】设斜面倾角为θ时，斜面长为S，物理受力如图8所示，由图知
【说明】以上两例分别是利用二次函数公式求极值、利用三角函数的有界性求极值。
物理知识和数学知识灵活地结合，为解决物理学中的极值问题提供了方便，也体现了数学方法在处理物理问题上的优越性。
四、几何知识在高中物理中的应用
例1：如图9所示，在悬点O处用长为L的细绳拉着质量为m的小球，小球在半径为R的光滑半球面静止，已知悬点离半球面的竖直高度为h，试求半球对小球的支持力和绳对小球的拉力。
【分析与解答】小球的受力如图五所示，三个力中任意两个力都不垂直，且三个力构成的三角形中各角都是未知的，但是三角形的的各边长度已知。
说明：由于三个力构成的三角形各角都是未知的，所以三角形边角关系法、正交分解法均不适用于此题，但是，ΔO′OA中各边长度已知，所以运用相似三角形法可将问题解决。
例2：房内高处有白炽灯S(点光源)，如果在S所在位置沿着垂直墙壁BC的方向扔出一个小球A，如图11所示，请描述A在BC上的影子沿着BC的运动情况。
由于影子的高度H′与时间的一次方成正比，所以影子做匀速直线运动。
【说明】本题解题的关键是画出光路图，在几何关系中找准关系，然后应用物理规律解决，光学中的绝大多数题目都不可避免地要应用几何知识，本题就是一个典型的例子。
五、数列知识、比例法在高中物理中的应用
例1：(2011重庆理综，25)某仪器用电场和磁场来控制电子材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域PP′N′N充满竖直向下的匀强电场，宽度为d;矩形区域NN′M′M充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁场强度为B，厂为3s，宽为s;NN′为磁场和电场之前的薄隔离层。
一个电荷量为e、质量为m、初速度为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从磁场边界M′N′飞出。
不计电子所受重力。
(1)求电子第二次与第一次圆周运动半径之比;
(2)求电场强度的取值范围;
(3)A是M′N′的中点，若要使电子在A、M′间垂直于AM′飞出，求电子在磁场区域中运动的时间。
【分析与解答】
(1)设圆周运动的半径分别为R1、R2、……、Rn、Rn+1…，第一和第二次圆周运动速率分别为v1和v2，动能分别为Ek1和Ek2。
【说明】该题主要考查带电粒子在分离的电磁场中的运动，辅助考查在磁场中运动的临界问题。
本题的解答运用到了数列知识和不等式的知识。
在习题教学中运用数列法解题时，必须根据物理原理，先确定其中某几项(前几项或后几项)，然后用递推的方法找出其通用公式，确定物理规律。
涉及数列知识的题目多数在直线运动中出现，复杂的但有规律的运动或者动量中多次碰撞的情况也涉及数列知识。
例2：列车从车站出发做匀加速直线运动，一位旅客站在站台上列车的最前端，测得第一节车厢经过他身旁的时间是3秒，假设各节车厢长度相同且不计车厢连接处的长度，则第9节车厢经过他身旁需要多少时间?
【说明】本题按照常规的解法计算会相当麻烦，但是利用比例的方法就能很简单地解决，这就要求学生具有对数学表达的深刻观察力和善于利用比例的能力。
教学实践证明，数学方法在高中物理中的应用无论是过去、现在还是将来都扮演着十分重要的角色。
在处理物理问题时，若能充分借助数学工具的作用，则对激发学生的学习兴趣，培养学生创新精神和创新能力，提高学生解决实际问题的能力起到积极的作用。
总之，在物理教学中有效地利用数学，数理结合，能提升高中物理教学的有效性。
因此，我们在平时的教学实践中，应从分析物理现象着手，把物理、数学知识有机结合起来，融会贯通，培养学生的综合应用能力。
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