2016届初三数学上期中考试题
21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4).已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为(1，3)，(2，5)，若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 (3，4)或(0，4) .
考点： 位似变换;坐标与图形性质.
分析： 首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点(1，3)，(2，5)的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC平行，则可分别从①若A的对应点为A1(1，3)，C的对应点为C1(2，5)与②若C的对应点为A1(1，3)，A的对应点为C1(2，5)去分析求解，即可求得答案.
解答： 解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵△ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)，
∴ ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=2x﹣8，
同理可得：直线AB的解析式为：y= x﹣2，直线BC的解析式为：y=﹣x+10，
∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为(1，3)，(2，5)，
∴过这两点的直线为：y=2x+1，
∴过这两点的直线与直线AC平行，
①若A的对应点为A1(1，3)，C的对应点为C1(2，5)，
则B1C1∥BC，B1A1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=﹣x+a，直线B1A1的解析式为y= x+b，
∴﹣2+a=5， +b=3，
解得：a=7，b= ，
∴直线B1C1的解析式为y=﹣x+7，直线B1A1的解析式为y= x+ ，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：(3，4);
②若C的对应点为A1(1，3)，A的对应点为C1(2，5)，
则B1A1∥BC，B1C1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y= x+c，直线B1A1的解析式为y=﹣x+d，
∴ ×2+c=5，﹣1+d=3，
解得：c=4，d=4，
∴直线B1C1的解析式为y= x+4，直线B1A1的解析式为y=﹣x+4，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：(0，4).
∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为(3，4)或(0，4).
故答案为：(3，4)或(0，4).
点评： 此题考查了位似图形的`性质.此题难度适中，注意掌握位似图形的对应线段互相平行，注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用.
三、解答题(要有必要的解答过程和相应的文字说明)
22.(1)解方程：2x2﹣3x=0;
(2)如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF.求证：CE=CF.
考点： 菱形的性质;解一元二次方程-因式分解法;全等三角形的判定与性质.
分析： (1)将方程左边的多项式提取公因式x，分解因式后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.
(2)根据菱形的性质，利用SAS判定△ACE≌△ACF，从而求得CE=CF.
解答： (1)解：x(2x﹣3)=0，
x=0或2x﹣3=0，
∴x1=0，x2= ;
(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，AC为公共边，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF(SAS)，
∴CE=CF.
点评： (1)此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
(2)本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.
23.(1)计算：2﹣1+(π﹣3.14)0+sin60°﹣|﹣ |
(2)如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinC= ，点D是BC上一点，且DC=AC.求BD的长.
考点： 解直角三角形;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
分析： (1)分别根据0指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值即绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可;
(2)过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形的性质得出BE=CE，在Rt△ACE中根据AC=10，sin∠C= ，得出AE=6，由勾股定理求出CE的值，再由BD=BC﹣BD=BC﹣AC即可得出结论.
解答： (1)解：原式= +1+ ﹣
= ;
(2)解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
在Rt△ACE中，AC=10，sin∠C= ，
∴AE=6，
∴CE= =8，
∴BD=2CE=16，
∴BD=BC﹣BD=BC﹣AC=6.
点评： 本题考查的是解直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
24.如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边.如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米.求花边的宽.
考点： 一元二次方程的应用.
专题： 几何图形问题.
分析： 本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：
(矩形图案的长+两个花边的宽)×(矩形图案的宽+两个花边的宽)=地毯的面积.
解答： 解：设花边的宽为x米，
根据题意得(2x+6)(2x+3)=40，
解得x1=1，x2=﹣ ，
x2=﹣ 不合题意，舍去.
答：花边的宽为1米.
点评： 本题可根据关键语句和等量关系列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.
25.甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中.
(1)求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率;
(2)从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜;若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜;试分析这个游戏是否公平?请说明理由.
考点： 游戏公平性;概率公式;列表法与树状图法.
专题： 探究型.
分析： (1)由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平.
解答： 解：(1)由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，
故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为： ;
(2)这个游戏不公平.
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，
∴P(甲胜)= ，P(乙胜)= .
∴P(甲胜)≠P(乙胜)，
故这个游戏不公平.
点评： 本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.
26.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E(4，n)在边AB上，反比例函数 (k≠0)在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA= .
(1)求边AB的长;
(2)求反比例函数的解析式和n的值;
(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长.
考点： 反比例函数综合题.
专题： 综合题.
分析： (1)根据点E的纵坐标判断出OA=4，再根据tan∠BOA= 即可求出AB的长度;
(2)根据(1)求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值;
(3)先利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度.
解答： 解：(1)∵点E(4，n)在边AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，
∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2;
(2)根据(1)，可得点B的坐标为(4，2)，
∵点D为OB的中点，
∴点D(2，1)
∴ =1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y= ，
又∵点E(4，n)在反比例函数图象上，
∴ =n，
解得n= ;
(3)如图，设点F(a，2)，
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴ =2，
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，
即t2=(2﹣t)2+12，
解得t= ，
∴OG=t= .
点评： 本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点D的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键.
27.如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1，0)和B(3，0)，点C(m， )在抛物线的对称轴上.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)求证：△ABC是等腰三角形.
(3)动点P在线段AC上，从点A出发以每钞1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动.当Q到达点A时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似.
考点： 二次函数综合题.
专题： 综合题.
分析： (1)将点A、点B的坐标代入抛物线解析式可得出a、b的值，继而得出抛物线的函数表达式;
(2)由抛物线解析式可得出m的值，求出CA、CB的长度，即可得出结论;
(3)分两种情况讨论，①当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，②当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ABC，利用对应边成比例解出t的值即可.
解答： 解：(1)把A(1，0)和B(3，0)代入y=ax2+bx+3得： ，
解得： ，
∴抛物线的函数解析式是y=x2﹣4x+3.
(2)抛物线的对称轴是x=2，
∵点C(m， )在抛物线对称轴上，
∴m=2，
∴点C(2， )，
∴CA= =4，CB= =4，
∴CA=CB
∴△ABC是等腰三角形.
(3)∠A是公共角，
①当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，
∴ = ，
解得：t= .
②当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ABC，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，
∴ = ，
∴t= ，
∴当t= 或t= 时，△APQ与△ABC相似.
点评： 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的判定及相似三角形的判定与性质，难点在第三问，关键是分类讨论，不要漏解，注意相似三角形的对应边成比例.
28.如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H.
(1)求证： ;
(2)设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值;
(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，当0≤t<4时，求S与t的函数关系式.
考点： 相似形综合题.
分析： (1)首先判断出△AEF∽△ABC，即可推得 ;然后判断出△AEH∽△ABD，即可推得 .
(2)首先求出EQ的值是多少;然后根据S矩形EFPQ=EF•EQ，求出S矩形EFPQ关于x的函数关系式，再应用配方法，求出当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大，以及S矩形EFPQ的最大值是多少即可.
(3)首先判断出△FPC是等腰直角三角形，求出PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9;然后设EF、PF分别交AC于点M、N，判断出△MFN是等腰直角三角形，推得FN=MF=t，求出S与t的函数关系式即可.
解答： (1)证明：∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
又∵△AEH∽△ABD，
∴ ，
∴ .
(2)解：由(1)得 = ，
∴AH= x，
∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣ x，
∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8﹣ x)=﹣ x2+8x=﹣ (x﹣5)2+20，
∵﹣ <0，
∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20.
(3)解：如图1，
由(2)得EF=5，EQ=8﹣ =8﹣4=4，
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形，
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=5+4=9.
如图2， ，
当0≤t<4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
∵∠MFN=90°，∠FMN=∠C=45°，
∴FNM=45°，
∴△MFN是等腰直角三角形，
∴FN=MF=t，
∴S=S矩形EFPQ﹣S△MFN=20﹣ t2=﹣ t2+20.
点评： (1)此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握.
(2)此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似;②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.
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