纵横交替探寻均衡的数学化
毕业论文
纵横交替探寻均衡的数学化
张继红
摘 要：通过课堂实践，总结得失，从“立足生活实际，在解决现实问题中呈现横向数学化”、“经历‘操作—表象—符号’的认知过程，推进纵向数学化”以及“横纵交错，构建现实主义的‘数学化’课堂”3方面进行了具体论述，旨在发挥现实主义课堂的积极作用，提高数学教学的实效性，从而促进学生数学思维能力的发展，激发学生的主体意识和创新意识，培养学生初步的探索、解决问题的能力。同时，均衡的数学化又为教师进行教材分析、实施有效教学提供了可供自我监测的明确标准。
关键词：小学数学 数学化 教学实践
【文献标识码】B 【文章编号】1728-2462(2008)06-0082-03
人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律，这个过程就是数学化；简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。
——弗赖登塔尔（荷兰）
数学新课程把数学作为人类的1种活动来体验。因此，数学教学的主要方式不是“教”给学生现成的、定论的知识，而是指导学生“再创造”，“使它好像就是接受着自己的产物”。这里的“再创造”就是“数学化”，它包括横向数学化和纵向数学化。前者指由现实问题到数学问题的转化，是把生活情境问题表述为数学问题的过程，通过这1过程，把现实情境转化为数学符号；后者是在前者之后的数学化，是从具体问题到抽象概念和方法的转化，是数学范畴内对已经符号化了的问题作进1步抽象化处理的数学化过程。简单地说，将现实问题转化为数学问题就是水平的横向数学化，而将这个问题向垂直方向深入探究，即纵向数学化。经过数学化得到1个新的数学概念之后，还有1个总结、反思、应用的过程。
横向与纵向数学化因素都是学生再创造的对象，要使两者均衡发展，才是现实主义的数学教育，才能实现促进学生1般发展与特殊发展的教育价值。这种课程新理念虽然得到了广大教师的认同，但在实施过程中也遇到不少问题和困惑，特别是担心数学活动的教学方式，会加剧两极分化，会导致学生对基础知识与基本技能的掌握不扎实。因此，我们必须关注：在新理念下，课堂教学的有效性，必须探究实施有效教学的策略，必须坚持横向数学化与纵向数学化的均衡发展。笔者根据亲身实践，谈谈在实施数学化教学中的若干体会：
1、立足生活实际，在解决现实问题中呈现横向数学化
横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，教师的责任是创设适合进行数学化活动的具体生活情境，并有效地指导学生参与到数学化的各个方面中去。
例1：小学数学中的《平均数》。在生成点的把握上要认识到今天的平均数教学与过去不同，今天是在统计（知识点）的'背景下。学生会有：“有统计总数不就可以了吗？为什么要有平均数？”类似的疑问。
那么，首先让学生亲历的过程是：为什么要学平均数？可以设计1个情境：让3个人1组进行拍球比赛，这时可以用总数。但如果某1组有4个人拍球，学生马上就会说“不能再用总数，这样不公平！”——这就是生成点。积累数学活动的经验，呈现出横向数学化的盎然生机。
例2：《盈亏问题》其实是奥数中的1个知识点，在教材中虽然属于只教不考的内容，但是如何让学生把握好其中的不变量呢？在教学设计中，我没有出现“盈亏问题”这个让学生不易理解的学术名词，而是以“春游中的数学问题”取而代之，1下子拉近了与学生的距离。在新授环节中，我也秉承了“立足现实生活”的原则，进行了如下设计：
问题：春游活动中，我们全班小朋友乘坐8条游船，每条船可坐4-6人，有几种不同的方案？（填入下表）
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每条船的人数 |
结果 |
总人数 |
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学生根据班级总人数37人，得到以下3种方案：
1、每船坐4人，还多5人；
2、每船坐5人，还少3人；
3、每船坐6人，还少11人。
继而提出：每条船坐的人数不同，结果也不同，但是其中有什么量始终没变？学生很容易就找出船的数量和总人数就是其中的不变量。在方案的设计中，学生体验了横向数学化的过程，并且为随后的纵向数学化打下了基础。如果是a条船，总人数如何表示？（如：
横向数学化的宗旨是架起“数学”与“生活”的桥梁。希望学生从生活情境中抽象出数学问题，因此数学课堂上的生活情境必须要有数学的含量，如同去金矿淘金、到渔场捕鱼1样，教师应当精心筛选，让有数学价值的生活情景引领学生走进数学化的天地。
2、经历“操作—表象—符号”的认知过程，推进纵向数学化
纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系，所以纵向数学化是数学教学的核心活动，是横向数学化的进1步发展，它真正能把学生引入数学世界。数学新课程强调数学教学要遵循学生学习数学的心理规律，什么是学生学习数学的心理规律呢？布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历3个发展阶段：动作认知、图形认知和符号认知。这3个发展阶段对应着儿童思维发展的3种水平：操作水平、表象水平和分析水平。从下面的课例中可以看到数学化过程是怎样促进学生思维发展的：
《设计纸盒》是在区教研室指导下进行的1次数学化教学实践。围绕着“1张正方形卡纸，剪去4个角后折成1个无盖的长方体盒子，怎样剪才能使其内部空间尽可能大1些？”这1数学问题展开探究。
以边长
第1步——通过讨论得出：剪去的小正方形的边长可能为1
第2步——分别制作出5种无盖长方体盒子，并猜想哪种盒子的容积最大；
第3步——操作验证：用倒多少米和计算容积的方法得到结果；
第4步——当正方形的大小变化时，剪去的4个小正方体的边长为多少，盒子的容积最大。
如表：
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正方形卡纸 |
纸盒容积最大时，剪去 的4个小正方形的边长 |
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12㎝×12㎝ |
2㎝ |
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18㎝×18㎝ |
3㎝ |
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24㎝×24㎝ |
4㎝ |
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…… |
…… |
从得出的结果（如上表），学生得到了初步的结论：当长方形卡纸的边长是剪去的4个小正方形边长的6倍时，所得到的无盖盒子容积最大。这个结论是否完全正确？如果边长不是整数时结果又将如何？来自学生的1系列问题更加推进了纵向数学化的发展，促进了学生深层次的思维发展。
数学活动是让学生经历1个数学化的过程，即让学生从自己的数学经验出发，经过自己的思考、概括或发现有关数学结论，从而培养学生的创新意识，形成初步的探索和解决问题的能力。学生凭借操作实验形成初步表象；再通过引导学生对具体问题作进1步研究并根据研究结果修正初步形成的数学语言，让学生亲身经历了1个从具体到抽象的纵向数学化的过程。
3、横纵交替，构建现实主义的“数学化”课堂
弗赖登塔尔以前并不接受横向与纵向数学化的划分，但最终他不仅接受了这种划分的思想，甚至到了极力推崇的地步。原因是：如果用双重的2分法分别从横向数学化和纵向数学化进行分类，数学教育可以分成4种类型：
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水平的数学化 |
垂直的数学化 |
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机械的（mechanistic） |
－ |
－ |
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经验的（empiricist） |
+ |
－ |
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构造的（structuralist） |
－ |
+ |
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现实的（realistic） |
+ |
+ |
从上表中可以看出，4种数学化的教学类型分别对应着不同的哲学观：
1、缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学：
2、横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学；
3、横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学：
4、横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学。
数学知识的发展不是单线地朝1个方向发展，当前我国基础教育数学课程改革也倡导现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行、均衡发展。数学课要上出数学味，选择横向的和纵向的数学化两个标准，来设计和分析数学教学，能帮助教师更好地理解自己教学设计的明确的或含蓄的意图，防止数学教学偏离现实主义的正确道路。1堂好的数学课或者1个好的教学环节应该是横向数学化与纵向数学化均衡发展的过程，可以尝试以下几种教学策略：
1、针对性地“设情境”——横向数学化和纵向数学化相继呈现。
从以上的诸多实例中不难发现，数学化过程常常由横向数学化开始，以纵向数学化结束。来源于现实问题的横向数学化，1旦转化成或多或少具有数学性质的问题时，就从具体问题转化到抽象概念和方法，自然过渡到纵向数学化的过程。又如：《搭配中的学问》中，小巧有3件上衣和4条裙子，可以有多少种不同的穿法？横向数学化在于找出问题的结构，这可以从某种巧妙的计算开始，而最终用乘积来完成纵向数学化。
2、创造性地“用教材”——横向数学化和纵向数学化同步呈现。
在1些教学内容中，横向数学化和纵向数学化可以通过不同的方式来说明同1个问题。例如：教学乘法时，5的6倍可以用5行6列（或6行5列）的矩形图式来进行横向数学化，而纵向数学化则得到数列：5、10、15、20、25、30。从不同的角度出发，其最终目标却是1致的。
3、引导学生“做数学”——横向数学化和纵向数学化交替呈现。
弗赖登塔尔关于“数学化”的演讲稿中举例到：用于几何（形状）给出的积数，它们的大小和关系就属于横向数学化问题。例如（图4），前n个奇数的和等于n的平方，又如（图5）：第n－1个3角形数和第n个3角形数的和等于n的平方。长期以来，这都是横向的经验，而且1旦把这种叙述和关系表达成公式进行处理，纵向数学化就占了主导。证明这种关系的归纳步骤具有纵向的特征，即使在很长的时间内它将像横向的那样起作用。在证明中所用的完全归纳法语言也表现出纵向的数学化。
从“1支蛋筒3元，24元能买几支？”能归纳出：24里有几个3？或者24是3的几倍？这两个简单的数学问题都揭示了实际问题中蕴含的数学结构——除法结构，进而列出除法算式：24÷3，至此完成了横向数学化。利用口诀求商，得到数学问题的解8，这是纵向数学化。再回到实际问题的情境，解释和检验这个抽象的解8的实际意义，做出实际问题的答案。这个过程也反映了从具体到1般，再从1般到具体的人类认识真知的辩证道路。
4、实施数学化教学的若干注意点
在进行数学化教学实践的过程当中，我也经历了从迷茫到清晰，从不解到顿悟的过程，由于我们立足于启蒙阶段的小学数学教学，所以更应该在实践教学中注意以下1些问题：
1、避免完全“生活化”倾向。新课程强调数学源于生活，但是数学化并不等同于生活化。生活问题数学化，仅仅是数学化的1个方面，是横向的数学化，还有纵向数学化。正如郑毓信教授指出：“我们所追求的不应是由‘学校数学’向‘日常数学’的简单‘回归’，而应是两者在更高层次上的整合”。我们应该克服这种倾向，组织有效而真实的数学活动，让学生在数学课上经历纵横交替的数学化过程，切实提高数学课堂教学的实效性。
2、把握实施数学化教学中横向、纵向的比重。对于低年级学生来说，遵循其思维发展的规律，应当侧重横向的因素，让学生知道数学的来龙去脉，了解数学来源于现实生活，并用来解决实际问题。但随着年级的升高，在横向数学化的基础上，要逐步关注纵向数学化的发展。没有纵向的数学化，数学知识就像1盘散沙，缺乏系统化和合理化，不利于发展学生的思维能力，更不利于提高学生解决问题的能力。
3、数学化的另1重要方面就是反思，从而促使改变看问题的角度，这是学生思维得以持续发展的内因。让学生经历数学化活动的过程中，每1步都需要把再创造与训练紧密地结合起来。数学化容易被其结果淹没，即结果1旦被掌握，人们很可能就不理会它们的来源。为此，需要让学生在学习过程中进行反思，语言表达与师生交流能够加强促进反思。
综上所述，“数学化”教学有利于学生数学思维能力的发展、解决问题能力的形成。通过“横向数学化”，为数学学习提供现实素材，积累直接经验；再通过“纵向数学化”，把生活常识、活动经验提炼为数学知识，将具体数学问题抽象为数学模型（即形式化）。这样均衡的现实主义课堂充盈着勃勃生机，我们将以此阶段研究为新的起点，为学生创设更优质的“数学化”课堂！
参考资料：
<1>《论弗赖登塔尔的数学教育观》，吴开朗等，数学教育学报，1995年第8期
<2>《数学教学理论选讲》，唐瑞芬著，华东师范大学出版社，2001年
<3>《数学化是人的发展中不可缺少的素养》，彭云飞著，继续教育研究，2003年第3期
<4>《弗赖登塔尔的数学教育思想》，杭州中学数学网，2006年7月
<5>《数学教育再探——在中国的讲学》，弗赖登塔尔（荷兰）
（责任编辑 李朝湖）
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