图4.1的被控对象矩阵模型就是式(4.21)左边矩阵的逆。
执行机构的动态模型
⑴ 液压压下系统
液压压下系统主要分为如下几部分：电液伺服阀、阀控液压缸、位移传感器、伺服放大器。
① 阀控液压缸
液压缸可用如下传递函数来近似：
(4.22)
式中：―柱塞行程，m；
－伺服阀输出流量，；
－液压缸工作面积，；
－负载弹簧刚度与阻尼系数之比，；
－液压弹簧与负载弹簧串联耦合时的刚度与阻尼系数之比，；
－液压弹簧和负载弹簧并联工作时与负载质量构成的系统固有频率，；
ζn液压阻尼比，取ζn＝0.2；
② 电液伺服阀
电液伺服阀的传递函数可按二阶振荡环节来取。
(4.23)
③ 位移传感器
差动变压器式位移传感器的传递函数为：
(4.24)
④ 伺服放大器
伺服放大器(包括功率放大器)由集成电子元件组成，响应速度很快，也可不计其时间常数，按比例环节处理。
(4.25)
液压位置控制闭环是一个高阶系统，分析计算太复杂，因此在实际研究中经常将其近似简化为一阶或二阶系统。本文采用一阶系统来进行近似。
(4.26)
⑵ 双环直流电机模型
直流电机一般采用双闭环的结构形式，外环为速度环，内环为电流环。如图4.2所示。
图4.2 速度控制系统原理框图
经过推导得到速度控制系统的传递函数为：
(4.27)
(4.28)
式中：
(4.29)
选择速度控制器时，其参数选择尽可能使三个速度控制的响应特性接近，以有利于系统解耦。由于速度控制系统传函阶次较高，但和一阶特性很接近，通常可以用一个一阶的传递函数模拟。
厚度、张力及速度控制系统的解耦
当系统存在耦合时，系统各个回路之间有影响。我们总是希望各个回路之间的影响尽可能的小，这样设计才方便，这个要求只有当系统的传递函数矩阵为对角阵时，上述困难才不会存在。一个多变量系统的传递函数矩阵不一定具有对角阵形式，为此，必须进行解耦[79] ，人们采用多种方法，如自适应解耦[80,81]、鲁棒解耦等[82～84]。逆奈奎斯特阵列方法解耦也是一种。多变量控制系统的逆奈奎斯特阵列(Inverse Nyquist Array)设计方法是英国学者罗森布洛克(Rosenbrock H H)于1969年首次提出的，这种方法是多变量系统频率域控制理论的重要内容之一。其主要是：使系统的开环传递函数矩阵成为对角优势矩阵，因而仅用矩阵的对角元便可判断系统的稳定性。利用此性质，可为多变量系统设计对角动态补偿器，从而使多变量系统设计大大简化，所得控制器也较简单。
设有理函数矩阵，它的元素为，分别定义
(4.30)
(4.31)
分别为矩阵第行的行半径和第列的列半径。分别定义
(4.32)
(4.33)
为矩阵第行的行半径系数和第列半径系数。
若对于形围线上的每一个值，均有
(4.34)
成立，则说矩阵第行(在形围线上)有行对角阵优势。若对于形围线上每个值，均有
(4.35)
则说矩阵第列有列对角优势。
显然，若某行(列)在形围线上的行(列)半径系数处处均小于1，则该行(列)有行(列)对角优势；反之，无行(列)对角优势。
若所有行(列)均有对角行(列)对角优势的矩阵为行(列)对角优势矩阵。
在形围线上的每一个点的值，在复数平面上以点为圆心，分别以为半径画圆，所得的每个圆称为该行(列)在该值下的Gershgorin圆。第行的关于所有值的Gershgorin圆的总体组成的带状区域称为第行的Gershgorin带。仿此定义第列的Gershgorin带。
一个的有理函数矩阵，共有条行(列)Gershgorin带。容易证明，如果所有行(列)Gershgorin带都不覆盖原点，则是行(列)对角优势矩阵。
显然，如果对于每一行(列)，式(4.32)或式(4.33)在频域内低于0分贝，则第行(列)有对角优势，否则没有对角优势。越低于0分贝，对角主导作用越强，对角优势越明显，即耦合程度越低。我们采用上述逆奈奎斯特阵列方法对被控对象解耦，得到矩阵。还可以采用Byant等提出的解耦方法，用去耦匹配滤波器将动态调节机构校正成一种传递函数形式，使执行机构动作的过渡响应接近，从而在轧机加减速时不会造成张力的波动。一般将执行机构传函校正成等于最慢的调节机构传函形式。对于本文单机架的轧机而言，因液压机构比电机动作速度快，应校正成传函形式。因为三个电机的特性基本一致或很容易校正得很接近，所以关键是辊缝调节机构和传动机构如何校正使其动静态特性接近的问题。动态时匹配滤波器矩阵选为：
(4.36)
表4.1 执行结构参数值
执行结构参数 开卷机 轧机 卷取机
(s) 0.01
(s) 0.01 0.01 0.01
( kg.m) 2100 8600 1400
(rad/s) 12 20.4 24
(1/rad/s) 20 20 20
(rad/s/kg.m) 0.0037 0.002 0.0037
(rad/s) 119 110 119
0.84 0.91 0.84
(rad/s) 100 100 100
1 1 1
其次是解决稳态解耦的问题，本文通过选择一个合适的增益矩阵来完成。该增益矩阵等于。由式(4.21)得到：
(4.37)
式中：
系统测量装置的动态模型： 系统中厚度、开卷机张力、卷取机张力和轧机速度需要测量，厚度测量有滞后。因此图4.1中的可以为：
(4.38)
表4.1是执行机构的参数值。
闭环控制系统仿真
图4.1所示的闭环控制系统的传递函数为:
(4.39)
式中：
(4.40)
图4.5给出来每个单闭环系统的幅相图，由图中可以看出，在整个频域范围内，闭环特性类似于时间常数为0.1的一阶系统的特性，而厚度的相位滞后是由传感器的检测滞后造成的。
图4.1中的扰动d的影响可以用下式表示：
(4.41)
系统灵敏度函数为：
(4.42)
假设支撑辊偏心造成的扰动为：
(4.43)
式中：分别为两个支承辊角频率，仿真时分设为6.8rad/s和6.5rad/s。厚度和张力的偏心扰动仿真结果见图4.3、图4.4和图4.5。从图中可以看出，解耦后的控制系统采用PID控制时偏心扰动对厚度、及张力的影响有所削弱，但无法消除。
图4.3 解耦后采用PID控制时偏心扰动对出口厚度的影响
图4.4 解耦后采用PID控制时偏心扰动对前张力的影响
图4.5 解耦后采用PID控制时偏心扰动对后张力的影响
单轧辊偏心扰动重复控制系统
系统结构
图4.6为单轧辊偏心MIMO重复控制补偿厚度、张力及速度控制系统结构原理图。图中为对象补偿后的nxn传递函数矩阵，为重复控制环节的nxn有理、稳定的传递函数矩阵，且是严格正则的，是正则的。为轧辊偏心等扰动信号。
图4.6 单轧辊偏心扰动重复控制补偿MIMO厚度、张力和速度控制系统
系统穩定性分析
由图4.6有：
(4.44)
经过推导得：
(4.45)
即
(4.46)
图4.6可以等效为图4.7。
图4.7 图4.6的等效原理图
定理4.1 对于如图4.6所示的重复控制系统，假设是稳定、正则的有理传函矩阵，为有理、稳定、严格正则的传函矩阵，如果满足下列条件，系统将渐近稳定，而且对于一有限输入，其偏差是可控且是有界的：
⑴ (4.47)
是稳定的；
⑵ (4.48)
式中：
(4.49)
证明： 首先研究图4.6闭环系统的零输入响应的渐近稳定性。当时，系统可由具有延迟的微分方程表示：
(4.50)
式中：表示严格正则矩阵的最小阶实现。
考虑到式（4.47）的条件和是稳定的，可知是稳定的，进而特征根的实部为负。
式(4.50)对所有渐近稳定的充要条件为：
① (4.51)
的所有根的实部为负；
② 对于所有的，下面不等式成立
(4.52)
要满足式(4.51)的条件，需要图4.6中的正反馈环对于渐近稳定。因稳定，并根据式(4.48)的条件，由乃奎斯特稳定判据可知该正反馈环是渐近稳定的。简化上式得：
(4.53)
因是稳定的，根据式(4.48)的条件可知式(4.52)成立。
因为下面几个公式在满足相应条件时成立
① 对于任何方阵成立；
② 对于成立；
③ 对于及有理矩阵成立；
④ 对于任意方阵X成立。
所以根据式(4.48)可知式(4.52)成立，并且当时，图4.10所示的等价系统是渐近稳定的。
因是严格正则传函矩阵，所以当时，。
由于，是稳定的，所以是稳定的。因此对于有界的输入r(t)，图4.10等价闭环系统的等价输入也是有界的，同时因是稳定的，闭环系统也是渐进稳定的，偏差是有界的。(证毕)
式(4.48)的条件要比Hara等提出的MIMO重复控制系统条件宽松。他们提出的条件是：的最大奇异值小于1。一般来说，矩阵的最大奇异值总是大于或等于最大特征根幅值，如果矩阵未加限定，两个条件的差别是明显的。Hara等提出的条件较为严格的原因是，在延迟对象的系统中，允许是正则的，而本章的控制系统中的被限定为严格正则的。需要指出的是，虽然被限定，但能增强系统的鲁棒性。
由于经常设计成稳定的，保证系统渐近稳定的的的选取原则为：特征增益或的特征根幅值的谱函数在单位1以下。该条件是SISO重复控制系统结论的推广。特征增益就是MIMO重复控制系统的重构谱。对于较大的时间延迟，重构谱和MIMO系统的特征根的关系为：
(4.54)
因为未知，上式的优势在于重构谱涵盖所有特征根的值，在轴上每间隔估算一个根的位置。上式意味着，MIMO重复控制系统重构谱在任何频率幅值低于单位1，越低的幅值表征特征根越远离复平面虚轴左部，系统也就具有越高的稳定度。因此设计时，应适当选择以使幅值较低，以改善系统稳定性。
的选择可按原理进行，该原理给出降低重构谱幅值的方法。假设选择为对角矩阵，如果的第j个对角元素为，为矩阵j行k列的元素。式(4.49)可写成：
(4.55)
按照原理，的特征值应满足：
(4.56)
即
(4.57)
该不等式喻示着，选择的原则为：选择矩阵元素使成为对角优势(或对角主导)矩阵，且对角元接近于1；为对角矩阵，且对角元的幅值应较小，以改善系统的稳定性。
系统品质分析
图4.6中
(4.58)
整理得：
(4.59)
由于
(4.60)
(4.61)
式(4.59)有：
(4.62)
从而输出为：
(4.63)
因此可得系统在输出端的灵敏度函数为：
(4.64)
式中：
(4.65)
该灵敏度函数的定义和式(4.42)有所不同的原因是反馈控制系统的扰动所处的位置不同。式(4.65)的灵敏度函数被用来检测对对象输出端的扰动信号的抑制能力。一般希望灵敏度函数具有较低的最大奇异值，特别在低频时要求系统具有较好的品质更是这样。Shaw指出，如果在低频时接近于单位矩阵，矩阵按前面章节提出的方法选取，则在输入扰动信号频率的整数倍处，奇异值远小于单位1，在这些频率上系统可得到较好的扰动抑制能力。和SISO重复控制情形一样，在削弱一些不希望的离散频率性能情况下，可使灵敏度函数在其它一些离散点的频率性能得到改善。
系统鲁棒性能分析
系统在输出端补灵敏度函数为：
(4.66)