自主招生笔试题

时间:2020-10-18 10:40:28 笔试题目 我要投稿

自主招生笔试题

数学:(^表示指数位置)
    1、(5^0.5+1)/(5^0.5-1)整数部分为A,小数部分为B。求:(1)A、B(2)B+B^2+B^3+……+B^n(比较简单)
    2、求证:(1)当x+y=1,x^2n+y^2n≥0.5^(2n-1)(我的思路:x^2n+y^2n>=2(x^(2n)*y^(2n)),当且仅当x=y=0.5时等号成立。当x=y,右式等于0.5^(2n-1),证明完毕。)
     (2)a,b,c>0,任意将其排序为x,y,z。求证:a/x+b/y+c/z>=3(除了用竞赛上讲的排序不等式,没想到其它做法)
    3、问x^2+2px+2q=0,p、q是奇数时是否有有理数根,证明之。(我的思路:不存在。要证明不存在,只需证delta不是有理数,只需证判别式不是完全平方数。设p^2-2q=a^2,a是整数。则:p^2是奇数,2q是偶数,故a是奇数。P^2-a^2=(p+a)(p-a)=2p的两个因式均为偶数,推出2p被4整除,与p是奇数矛盾,得证)
    4、椭圆x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1,过A(-a,0)做l交椭圆与P交y轴于R,过O做l’平行于l交椭圆于Q.求证:AP、根二倍OQ、AR成等比数列
    5、写出所有公差是8的三项等差质数列。(我的思路:『3,11,19』证明:公差为8的.质数列,故不含偶数。满足质数列,故不被3整除,首项可写作3n+1或3n+2。当为3n+1,第二项是3n+9,和数,排除;当为3n+2,第三项为3n+18,和数,排除。故3,11,19是唯一满足条件的数列)
    6、sin t+cos t=1,z=cos t+i sin t(i是虚数单位),求z^0+z^1+z^2+z^3+……+z^n(我的思路:貌似是应用复数的三角形式,好像要讨论)
    7、求证:a1,a2,a3,a4……a2n+1各项相等的充要条件是数列『an』满足条件:从中任取2n项,均可分成各含n项的两组使两组各项之和相等(不会,不过不知道假设其不相等,按从大到小的顺序排列之后有没有办法做)
    8、四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC,求证:(1)其四个面都是锐角三角形(2)若同一面上三个二面角是a,b,c,cosa+cosb+cosc=1
    9、三位数中任取一数,求:它是5的倍数的概率;它恰有两位数字相等的概率
 

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